Streumaße

Zur Charakterisierung von Stichproben, vor allem solchen mit großem Umfang n, werden spezielle Werte (auch Maße genannt) herangezogen. Diese Kenngrößen von Häufigkeitsverteilungen ermöglichen insbesondere den Vergleich statistischer Untersuchungen. Man unterscheidet hierbei zwischen Lagemaßen (Mittelwerten) und Streumaßen (Streuungsmaßen).

Lagemaße allein charakterisieren Häufigkeitsverteilungen nicht ausreichend, da sich diese trotz gleicher Mittelwerte (bzw. gleicher Zentralwerte) erheblich unterscheiden können, wenn deren Werte unterschiedlich um den Mittelwert „streuen“. Man erkennt dies an der grafischen Darstellung der Häufigkeitsverteilungen; bei kleiner Streuung verläuft die „Kurve“ schmal und hoch, bei großer Streuung dagegen breit und flach:

Das einfachste Streumaß ist die Spannweite, die den Umfang des Streubereiches kennzeichnet.

Unter der Spannweite oder Streubreite w einer Stichprobe versteht man die Differenz aus größtem und kleinstem Beobachtungswert:
$w=x_{\max }-x_{\min }$

Beispiel:
Es ist die Spannweite der folgenden Messreihe anzugeben:
$\begin{array}{l}\mathrm{18,3};\mathrm{24,0};\mathrm{16,7};\mathrm{22,2};\mathrm{15,3};\mathrm{19,3};\mathrm{14,4};\mathrm{17,2};\\ \mathrm{19,7};\mathrm{15,5};\mathrm{24,8};\mathrm{17,2};\mathrm{24,9};\mathrm{28,5};\mathrm{11,8};\mathrm{31,9};\\ \mathrm{17,3};\mathrm{26,1};\mathrm{29,5};\mathrm{18,0};\mathrm{34,3};\mathrm{22,2};\mathrm{28,8};\mathrm{27,4}\end{array}$
Lösung:
$w=\mathrm{34,3}-\mathrm{11,8}=\mathrm{22,5}$

Ein Maß für die Streuung, das alle Beobachtungsergebnisse $x_1;x_2\mathrm{...}{x}_n$ einer Stichprobe einbezieht, ist die mittlere Abweichung vom Mittelwert $\overline{x}$. Da die Summe der Abweichungen $x_i-\overline{x}$ (mit i = 1, 2 ... n) stets gleich 0 ist, muss beim Berechnen der durchschnittlichen Abweichung mit den entsprechenden Beträgen gearbeitet werden.

Die mittlere (lineare) Abweichung d der Werte einer Stichprobe vom Umfang berechnet sich folgendermaßen:
$d=\frac{\left|x_1-\overline{x}\right|+\left|x_2-\overline{x}\right|+\mathrm{...}+\left|x_n-\overline{x}\right|}{n}(x\in \mathbb{N})$

Beispiel:
Bestimme für die folgenden beiden Messreihen jeweils die mittlere Abweichung vom Mittelwert:
$\begin{array}{l}(I)3;4;7;7;7;9;11;12;12;19;20;22;23\\ (II)9;10;10;11;11;11;11;11;13;14;15;15;15\end{array}$
 

Bei gleichem Mittelwert streut die Messreihe (I) stärker als die Messreihe (II).

Um das nicht immer einfache Rechnen mit Beträgen zu vermeiden, quadriert man die jeweiligen (vorzeichenbehafteten) Abstände und kommt so zu zwei weiteren Streumaßen:

Unter der mittleren quadratischen Abweichung (bzw. Varianz) $s^2$ der Werte einer Stichprobe vom Umfang wird folgender Ausdruck verstanden:
$s^2=\frac{{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2}{n}(x\in \mathbb{N})$

Da $s^2$ nicht die gleiche Dimension wie die Beobachtungsergebnisse hat, betrachtet man als Streungsmaß die Wurzel aus diesem Wert:

Der Wert s mit
$s=\sqrt{\frac{{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2}{n}}(x\in \mathbb{N})$
wird Standardabweichung genannt.