Schräger Wurf

Für die Überlagerung von Bewegungen gilt das Unabhängigkeitsprinzip, das auch als Superpositionsprinzip bezeichnet wird. Es lautet:

Führt ein Körper gleichzeitig mehrere Teilbewegungen aus, so überlagern sich diese Teilbewegungen unabhängig voneinander zu einer resultierenden Gesamtbewegung.

Für die Geschwindigkeiten in x-Richtung und in y-Richtung (Bild 2) erhält man:
$\begin{array}{l}{v}_x=v_0\cdot \cos \alpha \text{(1)}\\ v_y=v_0\cdot \sin \alpha -g\cdot t\text{(2)}\end{array}$

Die resultierende Geschwindigkeit ergibt sich durch vektorielle Addition der beiden Geschwindigkeiten (1) und (2). Sie lässt sich zeichnerisch oder rechnerisch ermitteln. Rechnerisch ergibt sich:

$\begin{array}{l}v=\sqrt{v_0^2+v_{\text{F}}^2+2v_0\cdot v_{\text{F}}\cdot \sphericalangle ({\overrightarrow{v}}_0,{\overrightarrow{v}}_{\text{F}})}\\ v_{\text{0}}\text{Anfangsgeschwindigkeit}\\ v_{\text{F}}\text{Geschwindigkeit aufgrund des}\\ \text{freien Falls}\end{array}$

Analog wie die Geschwindigkeiten kann man auch die Wege in x-Richtung und y-Richtung berechnen:
$\begin{array}{l}{s}_{\text{x}}=x=v_0\cdot t\cdot \cos \alpha \text{(3)}\\ s_{\text{y}}=y=v_0\cdot t\cdot \sin \alpha -\frac{g}{2}{t}^2\text{(4)}\end{array}$

Aus den beiden zuletzt genannten Gleichungen (3) und (4) lässt sich die Gleichung für die Bahnkurve ableiten. Dazu wird Gleichung (3) nach t aufgelöst und in Gleichung (4) eingesetzt:
$\begin{array}{l}\text{Die Umstellung von Gleichung (3) nach}t\text{ergibt:}\\ t=\frac{x}{v_0\cdot \cos \alpha }\\ \text{Eingesetzt in (4) ergibt sich:}\\ y=v_0\cdot \frac{x}{v_0\cdot \cos \alpha }\sin \alpha -\frac{g}{2}\frac{x^2}{v_0^2\cdot {\cos }^2\alpha }\\ \text{Mit}\frac{\text{sin}\alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha \text{erhält man als Gleichung für}\\ \text{die Bahnkurve:}\\ y=\tan \alpha \cdot x-\frac{g}{2v_0^2\cdot {\cos }^2\alpha }\cdot x^2\text{(5)}\end{array}$

Von Bedeutung ist beim schrägen Wurf die Wurfweite, die Wurfhöhe und manchmal auch die Steigzeit, also die Zeit bis zum Erreichen der maximalen Höhe (Bild 3).

Die Wurfweite ergibt sich aus Gleichung (5) mit y = 0:
$\begin{array}{l}\tan \alpha \cdot x-\frac{g}{2v_0^2\cdot {\cos }^2\alpha }\cdot x^2=0\\ \text{Durch Ausklammern von}x\text{erhält man:}\\ x(\tan \alpha -\frac{g}{2v_0^2\cdot {\cos }^2\alpha }\cdot x)=0\\ \text{Damit ist die erste Lösung}x=0.\\ \text{Das ist der Abwurfpunkt}\text{.}\\ \text{Als zweite Lösung erhält man:}\\ \tan \alpha -\frac{g}{2v_0^2\cdot {\cos }^2\alpha }\cdot x=0\\ \text{Die Umstellung nach}x\text{ergibt:}\\ x=\frac{2v_0^2\cdot {\cos }^2\alpha \cdot \tan \alpha }{g}\\ \text{Mit}\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\text{und}2\sin \alpha \cdot \cos \alpha =\sin 2\alpha \\ \text{erhält man:}\\ s_W=\frac{v_0^2\cdot \sin 2\alpha }{g}\end{array}$

Die Steigzeit ergibt sich aus Gleichung (2) mit
$\begin{array}{l}{v}_{\text{y}}=0:\\ t_h=\frac{v_0\cdot \sin \alpha }{g}\end{array}$
Da die Steigzeit genauso groß ist wie die Fallzeit, ist die Gesamtdauer des Wurfes gleich der zweifachen Steigzeit.

Die Wurfhöhe ergibt sich aus Gleichung (4) mit
$\begin{array}{l}t=t_h=\frac{v_0\cdot \sin \alpha }{g}\text{und}y=s_h:\\ s_h=\frac{v_0^2\cdot {\sin }^2\alpha }{2g}\end{array}$

Die dargestellten Zusammenhänge gelten nur, wenn die vertikale Fallbewegung als freier Fall angenommen werden kann, wenn also der Luftwiderstand vernachlässigbar ist. Ist der Luftwiderstand nicht vernachlässigbar, dann entstehen keine Wurfparabeln, sondern ballistische Kurven. Unter diesem Stichwort sind dazu genauere Informationen zu finden.

Aus den genannten Gleichungen für den schrägen Wurf ergeben sich als Spezialfälle auch die Gleichungen für den waagerechten Wurf $(\alpha =0)$und für die senkrechten Würfe $(\alpha =\pm 90°)$.