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Im Folgenden soll die Kettenregel der Differenzialrechnung bewiesen werden.
Die Kettenregel besagt: Die Ableitung einer verketteten Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitungen von äußerer und innerer Funktion an der jeweiligen Stelle.
Für die Anwendung der Kettenregel ist eine auf der leibnizschen Schreibweise $\frac{dy}{dx}$ anstelle von $f\text{'}\left(x\right)$ beruhende Notation sehr einprägsam.

Ist für $x\in D_g$ eine Funktion $z=g\left(x\right)$ mit dem Wertebereich $W_g$ gegeben und ferner für $z\in W_g$ eine Funktion $y=f\left(z\right),$ dann heißt $y=f\left(g\left(x\right)\right)\left(\text{mit }x\in D_g\right)$ mittelbare (verkettete) Funktion von $x$.
Schreibweise: $y=f\circ g$ (gelesen: f „Kuller“ g oder f „Kringel“ g)
Anmerkungen: Es ist die Verkettungsvoraussetzung $W_g\subseteq D_f$ zu beachten.
$f\circ g$ bedeutet: Erst $g$ dann $f$ anwenden (d.h. $f$ nach $g$).

Die Funktion $f$ nennt man äußere Funktion, die Funktion $g$ innere Funktion der verketteten Funktion $y=f\left(g\left(x\right)\right)$.