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Im Folgenden wird gezeigt, dass die Kosinusfunktion $f\left(x\right)=\cos x$ im gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist und die Ableitungsfunktion $f\text{'}(x)=-\sin x$ besitzt.
Dazu betrachten wir den Graph der Kosinusfunktion $f\left(x\right)=\cos x\left(x\in ℝ\right)$ im Intervall von 0 bis $2\pi$.

Im Folgenden wird gezeigt, dass die Sinusfunktion $f\left(x\right)=\sin x$ im gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist und die Ableitungsfunktion $f\text{'}\left(x\right)=\cos x$ besitzt.
Dazu betrachten wir den Graph der Sinusfunktion $f\left(x\right)=\sin x\left(x\in ℝ\right)$ im Intervall von 0 bis $2\pi$.

Ist f eine nichtrationale Funktion mit der Gleichung y = f(x), dann ist es nicht möglich, zur Annäherung von y = f(x) ein Polynom n-ter Ordnung zu verwenden, dessen Koeffizienten mit den Ableitungen von y = f(x) an der Stelle $x_0$ in derselben Weise gebildet werden, wie die Koeffizienten der TAYLOR-Entwicklung einer ganzrationalen Funktion.

Dies ergibt sich bereits daraus, dass – im Unterschied zu ganzrationalen Funktionen n-ten Grades – die (n + 1)-te Ableitung und alle weiteren Ableitungen einer nichtrationalen Funktion im Allgemeinen nicht identisch gleich null sind.

Das heißt: Die Entwicklung einer solchen Funktion an einer Stelle $x_0$ „bricht nicht ab“, sondern würde zu einer Summe mit unendlich vielen Summanden (Reihe) führen. Man spricht deshalb auch von der Entwicklung einer Funktion in eine TAYLOR-Reihe.
An zwei Beispielen wird gezeigt, dass sich die Sinus- und auch die Kosinusfunktion in eine TAYLOR-Reihe entwickeln lassen.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Funktionenklassen".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

In Natur und Technik treten periodische Vorgänge auf. Zu ihrer Beschreibung sind die trigonometrischen Funktionen von besonderer Bedeutung. Diese Klasse von Funktionen wird durch eine weitere Eigenschaft charakterisiert, die Periodizität.

Die Graphen periodischer Funktionen sind verschiebungssymmetrisch, sie gehen durch Verschiebung längs der x-Achse mit einer Verschiebungsweite p oder $k\cdot p$ in sich über.

Die bekanntesten periodischen Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen. Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind periodisch mit der Periode $2\pi$.

Viele periodische Vorgänge lassen sich durch Funktionen der Form $f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(b\cdot \left(x-c\right)\right)$ beschreiben. Deren Graphen entstehen aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Streckung (Stauchung) in Richtung der Koordinatenachsen und Verschiebung in Richtung der x-Achse, woraus sich Schlussfolgerungen für die Nullstellen ziehen lassen.
Für mit anderen Funktionen verkettete Sinus- und Kosinusfunktionen führt das Bestimmen der Nullstellen auf das Lösen goniometrischer Gleichungen.

Die bezüglich eines rechtwinkligen Dreiecks formulierten Definitionen des Sinus und des Kosinus (wie auch des Tangens und des Kotangens) eines Winkels können auf einen beliebigen Kreis oder speziell auch auf einen Einheitskreis (also einen Kreis mit dem Radius $r=1$ Längeneinheit) übertragen werden.

Besonders bei der mathematischen Beschreibung von Schwingungsvorgängen wird häufig von Winkelfunktionen, speziell der Sinusfunktion mit Gleichungen der Form $y=f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(bx+c\right)$ Gebrauch gemacht.
Bezogen auf den Graphen von f nennt man deshalb a auch die Amplitude der Sinuskurve, b deren Frequenz und c ihre Phasenverschiebung.