8 Suchergebnisse

Zwei Mengen A und B sind zueinander gleichmächtig (A ~ B), wenn es eine eineindeutige Abbildung von A auf B gibt.
Jedem Element von A kann also genau ein Element von B und zugleich jedem Element von B genau ein Element von A zugeordnet werden.

Man spricht von einer Antinomie (einem echtem Paradoxon), wenn eine Aussage auf einen Widerspruch zurückgeführt wird, der nicht lösbar ist.
Neben dem Lügner-Paradoxon von EPIMENIDES gehört das Barbier-Paradoxon des britischen Mathematiker BERTRAND RUSSELL (1872 bis 1970) zu den bekannten Antinomien.
Das Barbier-Paradoxon gehört zur Gruppe der russellschen Antinomien.

Einer der wichtigsten Grundbegriffe der Mathematik ist der Begriff der Menge. Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung bestimmter real existierender oder gedachter Objekte aus einem vorgegebenen oder ausgewählten Grundbereich zu einem Ganzen. Die einzelnen Objekte werden Elemente der Menge genannt.

Das Zulassen aller denkbaren Zusammenfassungen als Mengen kann zu Widersprüchen führen, auf die BERTRAND RUSSELL (1872 bis 1970) aufmerksam machte und die deshalb auch russellsche Antinomien genannt werden.

* 6. Oktober 1831 Braunschweig
† 12. Februar 1916 Braunschweig

RICHARD DEDEKINDS Hauptinteressen lagen auf dem Gebiet der algebraischen Zahlentheorie. Insbesondere wurde er durch seine theoretische Fundierung der reellen (irrationalen) Zahlen mithilfe des sogenannten dedekindschen Schnittes bekannt.

Der Bereich der rationalen Zahlen und der Bereich der irrationalen Zahlen bilden zusammen den Bereich der reellen Zahlen.
Reelle Zahlen lassen sich auf der Zahlengeraden darstellen, dabei gehört zu jeder reellen Zahl genau ein Punkt und zu jedem Punkt genau eine reelle Zahl.
Für das Rechnen mit reellen Zahlen gelten im Prinzip die gleichen Regeln und Gesetze wie im Bereich der rationalen Zahlen. Anstelle mit reellen Zahlen rechnet man häufig mit deren rationalen Nährungswerten.

Obwohl die Menge der gebrochenen Zahlen unendlich und überall dicht ist, kann man die gebrochenen Zahlen eindeutig den natürlichen Zahlen zuordnen, man kann sie abzählen.
Die Menge ${\mathbb{Q}}_{+}$der gebrochenen Zahlen ist abzählbar. Dies geschieht nach dem sogenannten cantorschen Diagonalverfahren (benannt nach GEORG CANTOR, 1845 bis 1918).

RICHARD DEDEKIND (1831 bis 1916), deutscher Mathematiker
* 06. Oktober 1831 Braunschweig
† 12. Februar 1916 Braunschweig

RICHARD DEDEKINDs Hauptinteressen lagen auf dem Gebiet der algebraischen Zahlentheorie. Insbesondere wurde er durch seine theoretische Fundierung der reellen (irrationalen) Zahlen mithilfe des sogenannten dedekindschen Schnittes bekannt.

PYTHAGORAS selbst oder einer seiner Schüler entdeckte, dass bei einem Quadrat das Verhältnis von Seitenlänge und Diagonalenlänge nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden kann. Beide Strecken haben kein gemeinsames Maß, sie sind inkommensurabel.
Diese Entdeckung erschütterte ganz erheblich das Weltbild der Pythagoreer, die angenommen hatten, dass sich jedes Phänomen in der Sprache der natürlichen Zahlen formulieren ließe.