Reelle Zahlen

Darstellung und Eigenschaften rationaler Zahlen

Wenn man ausgehend von den natürlichen Zahlen die Zahlbereiche so erweitert, dass man alle vier Grundrechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) uneingeschränkt (außer der Division durch Null) ausführen kann, kommt man zur Menge der rationalen Zahlen.
Jede rationale Zahl lässt sich eindeutig darstellen als

1. gewöhnlicher (gemeiner) Bruch $\frac{z}{n}$, wobei der Zähler z eine ganze und der Nenner n eine natürliche Zahl ist und soweit wie möglich gekürzt wird;
2. Dezimalbruch, der entweder endlich oder periodisch (ausgeschlossen eine Neunerperiode und evtl. mit Vorperiode) ist.

Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar, d.h., die rationalen Zahlen lassen sich (der Reihe nach) eindeutig den natürlichen Zahlen zuordnen (cantorsches Diagonalverfahren).
Die rationalen Zahlen liegen überall dicht, d.h., zwischen zwei rationalen Zahlen liegt mindestens noch eine weitere rationale Zahl. So liegt beispielsweise zwischen $\frac{1}{3}und\frac{1}{2}$ deren arithmetisches Mittel $\frac{5}{12}$. Da man dieses Verfahren unendlich oft wiederholen kann, liegen zwischen zwei rationalen Zahlen sogar unendlich viele weitere rationale Zahlen.
Die rationalen Zahlen lassen sich auf einer Zahlengeraden darstellen, wobei zwischen zwei beliebigen Punkten immer noch unendlich viele weitere Punkte liegen.

Irrationale Zahlen

Eine Tatsache, die die Vorstellungskraft übersteigt, ist nun aber die folgende:
Obwohl die rationalen Zahlen und die sie darstellenden Punkte auf der Zahlengeraden überall dicht liegen, gibt es dazwischen noch Punkte, denen keine rationale Zahl zugeordnet werden kann.

Wir betrachten dazu nachstehendes Beispiel:
Wenn man ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 zeichnet, hat dessen Diagonale die Länge $\sqrt{2}$ (nach Satz des PYTHAGORAS). Diese Diagonale kann man auf die Zahlengerade klappen, ihr Endpunkt $\left(\sqrt{2}\right)$ ist keine rationale Zahl.

Der Beweis, dass $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl sein kann, ist das klassische Beispiel eines indirekten Beweises. Man nimmt dazu an, $\sqrt{2}$ sei eine rationale Zahl. Dann lässt sie sich darstellen als $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$(wobei p und q soweit wie möglich gekürzt sein sollen). Durch Quadrieren ergibt sich $2=\frac{p^2}{q^2}=\frac{p\cdot p}{q\cdot q}$.
Das kann aber nicht sein, wenn sich p und q nicht kürzen lassen.
Also war die Annahme falsch, und somit ist $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl.

Auch der Dezimalbruch $d=\mathrm{0,101}001000100001\mathrm{...}$, dessen Bildungsgesetz darin besteht, vor der nächsten Eins immer eine Null mehr einzufügen, ist keine rationale Zahl, denn er ist weder endlich noch periodisch.

Solche Zahlen wie $\sqrt{2}$, der oben genannte Dezimalbruch d, ${\log }_{10}2=\lg 2$, $\sin 60°=\frac{1}{2}\sqrt{3}$ oder auch die Kreiszahl $\pi$ und die eulersche Zahl e sind keine rationale Zahlen, man nennt sie irrationale Zahlen.

Es gibt unendlich viele irrationale Zahlen. Jede Wurzel aus einer natürliche Zahlen, wenn sie selbst keine natürliche Zahl ist, ist eine irrationale Zahl. Außerdem sind die meisten Funktionswerte von Winkel- und Logarithmusfunktionen irrationale Zahlen.
Zwischen den unendlich vielen und überall dicht liegenden Punkten auf der Zahlengeraden, die den gebrochenen Zahlen zugeordnet sind, gibt es also noch unendlich viele Punkte, die den irrationalen Zahlen entsprechen.

Das ist sicher schwer vorstellbar, und so ist es umso verständlicher, dass die Mathematiker der Antike und des Mittelalters am Problem der irrationalen Zahlen (der Name macht es ja deutlich) scheiterten. Die griechischen Mathematiker konnten zwar noch Quadratwurzeln ziehen, das Resultat von $\sqrt[3]{2}$ konnten sie jedoch nicht ermitteln. Damit war die folgende als delisches Problem bezeichnete Fragestellung unlösbar:

• Der Legende nach forderte das Orakel von Delphi von den Athenern, den würfelförmigen Altar des Apollon im Heiligtum der Insel Delos zu verdoppeln.
  Wenn der ursprüngliche Altar die Kantenlänge von $1E$ (Einheit) hat, beträgt sein Volumen $1E^3$. Der neue Altar muss dann das Volumen von $2E^3$ haben, woraus folgt, dass seine Kantenlänge $\sqrt[3]{2}{E}^{}$ sein muss – und diesen Wert konnte man nicht berechnen.

Das Problem der Verdopplung des Würfels (Kubus) ist eines der drei klassischen Probleme der antiken Mathematik. Die beiden anderen sind die Quadratur des Kreises (Konstruktion eines Quadrates, das den gleichen Flächeninhalt wie ein gegebener Kreis besitzt) und die Trisektion des Winkels (Teilung eins beliebigen Winkels mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile). Die letzten beiden Probleme hängen mit der Irrationalität von $\pi$ zusammen.

Mathematiker aller Epochen haben sich mit den drei klassischen Probleme beschäftigt, was wesentlich zur Entwicklungen der mathematischen Theorie beigetragen hat. Letztlich haben erst die Forschungsergebnisse von EVARISTE GALOIS (1811 bis 1832), die von ihm entwickelte Gruppentheorie, die Beweise von der prinzipiellen Unlösbarkeit dieser drei Probleme ermöglicht.

Transzendente Zahlen

Die irrationalen Zahlen lassen sich noch unterteilen in algebraisch irrationale und transzendente Zahlen. Algebraisch irrationale Zahlen sind solche, die sich als Lösung einer Gleichung mit rationalen Koeffizienten ergeben, z.B. $\sqrt{17}$ als Lösung der Gleichung $x^2-17=0$. Bei transzendenten Zahlen ist dies nicht der Fall.

In der historischen Entwicklung war vor allem das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser des Kreises, also die Zahl $\pi$ (die Bezeichnung geht auf LEONHARD EULER zurück), interessant. Die Mathematiker der Antike scheiterten an Tatsache, dass sich Umfang und Durchmesser eines Kreises (ebenso wie Diagonale und Seitenlänge eines Quadrates) nicht durch ganzzahlige Teilverhältnisse ausdrücken lassen. Näherungswerte waren aber seit langem bekannt.

Die alten Ägypter verwendeten, ${\left(\frac{16}{9}\right)}^2=\mathrm{3,160}493\mathrm{...}$ ARCHIMEDES VON SYRAKUS (etwa 287 v.Chr. bis 212 v.Chr.) kam durch Vergleich des Kreisumfangs mit den Umfängen von ein- und umbeschriebenen Vielecken zu dem Ergebnis das $\pi$ zwischen $3\frac{10}{71}=\mathrm{3,140}845\mathrm{...}$ und $3\frac{1}{7}=\mathrm{3,142}857\mathrm{...}$ liegen muss. Der niederländische Mathematiker LUDOLPH VAN CEULEN (1540 bis 1610) berechnete $\pi$ auf 32 Stellen genau, weshalb $\pi$ auch ludolphsche (auch ludolfsche) Zahl genannt wird.

Auch mithilfe von Potenzreihen (eine erste wurde von GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ gefunden) gelang es Näherungswerte für $\pi$ zu finden. Bei diesen und weiteren Berechnungen ging es vor allem um das Auffinden einer Periodizität, was die Rationalität von $\pi$ bedeutet hätte. Dass $\pi$ eine irrationale Zahl ist, wurde Ende des 18. Jahrhunderts durch JOHANN HEINRICH LAMBERT (1728 bis 1777) und ADRIEN MARIE LEGENDRE (1752 bis 1833) bewiesen. Aber erst 1882 konnte der deutsche Mathematiker FERDINAND LINDEMANN (1852 bis 1939) zeigen, dass $\pi$ eine transzendente Zahl ist.

Der Bereich der reellen Zahlen

Der Bereich der rationalen Zahlen und der Bereich der irrationalen Zahlen bilden zusammen den Bereich der reellen Zahlen.
Anschaulich ist klar, dass die reellen Zahlen auf der Zahlengeraden abgebildet werden können, womit auch eine Größer-Beziehung (über den Abstand vom Nullpunkt) erklärt ist. Ein solches naives, auf Anschauung beruhendes Umgehen mit den reellen (bzw. irrationalen) Zahlen hatte sich zwar im Laufe der Zeit durchgesetzt, blieb aber natürlich unbefriedigend.
Eine exakte Erfassung des Irrationalen, eine theoretische Fundierung der reellen Zahlen erfolgte erst mit den grundlegenden Arbeiten von RICHARD DEDEKIND (1831 bis 1916), GEORG CANTOR (1845 bis 1918) und KARL WEIERSTRASS (1815 bis 1897).
Eine reelle Zahl ist entweder rational oder irrational. Irrationale Zahlen können durch rationale beliebig genau angenähert werden.
Reelle Zahlen lassen sich auf der Zahlengeraden darstellen, dabei gehört zu jeder reellen Zahl genau ein Punkt und zu jedem Punkt genau eine reelle Zahl.

Rechnen mit reellen Zahlen

Im Bereich der reellen Zahlen sind die Addition; die Subtraktion, die Multiplikation, die Division (außer durch Null) uneingeschränkt ausführbar.
Dabei gilt:

1. $a+0=0+a$ (für alle $a\in ℝ$)
   (0 ist das neutrale Element der Addition)
2. $1\cdot a=a$ (für alle $a\in ℝ$)
   (1 ist das neutrale Element der Multiplikation)

Für das Rechnen mit reellen Zahlen gelten die gleichen Regeln und Gesetze wie im Bereich der rationalen Zahlen, also insbesondere

1. die Trichonomie, d.h., für zwei reelle Zahlen a und b gilt genau eine der drei Beziehungen $a<b,a=b,a>b$;
2. das Kommutativgesetz der Addition und der Multiplikation, d.h.
   $a+b=b+a$ bzw. $a\cdot b=b\cdot a$;
3. das Assoziativgesetz der Addition und der Multiplikation, d.h.
   $a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c$ bzw. $a\cdot \left(b\cdot c\right)=\left(a\cdot b\right)\cdot c$
4. das Distributivgesetz der Addition bezüglich der Multiplikation, d.h.
   $a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c$
5. die Monotonie der Addition bezüglich der Kleiner-Relation; d.h.,
   aus $a<b$ folgt $a+c<b+c$.
   Anmerkung: Die Monotonie der Multiplikation bezüglich der Kleiner-Relation ist eingeschränkt, d.h., aus $a<b$ folgt $a\cdot c<b\cdot c$ nur für $c>0$.

Beim Rechnen mit reellen Zahlen gibt es folgende Möglichkeiten:

1. Alle gegebenen Zahlen sind rational.
   (Dann kommen die Regeln und Verfahren des Rechnens mit rationalen Zahlen zur Anwendung.)
2. Mindestens eine gegebene Zahl ist irrational.
   (Dann kann man evtl. die Gesetze des Rechnens mit Wurzeln, Logarithmen, Winkelfunktionswerten o.Ä. nutzen, oder man rechnet mit rationalen Näherungswerten.)

Da jede irrationale Zahl beliebig genau durch rationale Werte angenähert werden kann, ist Letzteres immer möglich und in der Praxis das übliche Vorgehen.