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Bachs Kantaten

JOHANN SEBASTIAN BACHs (1685–1750) Kantaten bilden zweifellos den Höhepunkt der Gattungsgeschichte. Sein vielgestaltiges Werk umfasst fünf Jahreszyklen á 59 Kantaten. BACHs Schaffen stand stets in Verbindung mit seinen Amtspflichten als Konzertmeister, Kapellmeister oder Kantor und war daher an die Orte seiner Berufung – Weimar, Köthen und Leipzig – gebunden. Der Großteil seiner Kompositionen besteht aus Kirchenkantaten, aber es entstanden ebenso bedeutende weltliche Kantaten. Kantaten der Bachzeit bezeichnen eine mehrteilige Vokalkomposition, bestehend aus

  • Arie,
  • Rezitativ und
  • Choral mit instrumentaler Begleitung.
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Indirekter Beweis

Die Struktur des indirekten Beweises besteht darin, dass aus der Voraussetzung, bereits bekannten Tatsachen (Definitionen und Sätzen) und dem Gegenteil der Behauptung mithilfe einer endlichen Anzahl gültiger Schlussregeln ein Widerspruch zur Voraussetzung, zu bereits bekannten Tatsachen oder zum Gegenteil der Behauptung erzeugt wird.

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Allgemeines zu Beweisverfahren

Betrachtet man die Mathematik als Gebäude, dann bilden Grundbegriffe und als wahr angenommene Grundaussagen (so genannte Axiome bzw. Postulate) das Fundament. Der Aufbau des Gebäudes vollzieht sich im Wesentlichen dadurch, dass ausgehend von den Grundbegriffen weitere Begriffe (sogenannte abgeleitete Begriffe) gebildet (definiert) werden sowie Zusammenhänge zwischen ihnen erkannt und in Aussagen formuliert werden. Als wahr erkannte Aussagen werden als Sätze (Lehrsätze) in das Gebäude aufgenommen und bei dessen weiterer Vervollkommnung verwendet.
Der Nachweis der Wahrheit einer Aussage, eines mathematischen Satzes, erfolgt durch einen Beweis. Man unterscheidet direkte und indirekte Beweise.

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Der Satz von ROLLE

Für eine Reihe von Aufgabenstellungen der Differenzialrechnung, z.B. bei Kurvendiskussionen (Untersuchung des Monotonieverhaltens, der Existenz lokaler Extrema, des Vorhandenseins von Wendepunkten und des Krümmungsverhaltens von Funktionen) oder beim Berechnen von Näherungswerten von Funktionen sind die so genannten globalen Sätze von besonderer Bedeutung.
Zu diesen zählen unter anderem der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung und der nachstehend betrachtete Satz von ROLLE.

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Relativsätze

Relativsätze (relative clauses) sind Nebensätze, die das Subjekt oder das Objekt des Hauptsatzes näher erläutern. Sie können sich aber auch auf den Sachverhalt des ganzen Hauptsatzes beziehen. Eingeleitet werden sie in der Regel durch Relativpronomen (relative pronouns) wie who, which oder that. Der nachfolgende Artikel behandelt

  • die unterschiedlichen Bezüge eines Relativsatzes,
  • die einzelnen Relativpronomen und
  • die Unterscheidung zwischen notwendigen und nicht-notwendigen Relativsätzen.
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Adjektive (adjectives)

Im folgenden Artikel wird im Anschluss an die Definition des Adjektivs der attributive und prädikative Gebrauch von Adjektiven vorgestellt. Weiterhin werden die Funktion des Adjektivs als subject und object complement, die Verwendung von nachgestellten Adjektiven und die Substantivierung des Adjektivs erläutert.

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Adverbien (adverbs)

Ein Adverb wird verwendet, um ein Verb, ein Adjektiv oder ein anderes Adverb näher zu charakterisieren. Im Englischen erfolgt die Bildung eines Adverbs gewöhnlich durch Anhängen von -ly an das Adjektiv. Dagegen sind in der deutschen Sprache Adjektive rein äußerlich nicht von Adverbien zu unterscheiden. Der folgende Artikel behandelt die verschiedenen Arten von Adverbien, deren Stellung im Satz sowie die Steigerung von Adverbien. Die angeschlossene Übung beschäftigt sich mit dem richtigen Gebrauch von Adjektiven bzw. Adverbien in Vergleichssätzen.

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Hypotaxe und Parataxe

Wird ein Hauptsatz mit einem weiteren Satz verbunden, entsteht ein zusammengesetzter Satz (complex sentence). Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten der Satzverknüpfung: Ein Hauptsatz kann entweder mit einem weiteren Hauptsatz oder einem Nebensatz verbunden werden. Man spricht von einer Satzreihe/Parataxe, wenn Hauptsätze miteinander verbunden werden. Dies geschieht vorwiegend mit nebenordnenden Funktionen (coordinating conjunctions) wie and, or und but.
Wird ein Hauptsatz (main clause) mit einem Nebensatz verbunden, nennt man dies Satzgefüge/Hypotaxe. Hierbei kommen unterordnende Konjunktionen (subordinating conjunctions) zum Einsatz, wie z. B. after oder before. Hypotaktische und parataktische Strukturen sind typische Merkmale der formalen und neutralen Stilebene.

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Present perfect und present perfect progressive

Das present perfect steht bei Handlungen oder Tatsachen, die in der Vergangenheit begonnen haben und erst vor kurzer Zeit abgeschlossen wurden, bzw bis zur Gegenwart angedauert haben. Es wird auch für Handlungen verwendet, die zwar abgeschlossen wurden, deren Folgen bzw. Auswirkungen jedoch noch in die Gegenwart reichen.
Tina has been drinking cola all evening. She is even drinking more. What have you been doing all afternoon? I’ve been watching TV. But Bill has been smoking cigarettes for hours and hasn’t stopped yet.

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Relativsätze (relative clauses)

Relativsätze (relative clauses) sind Nebensätze, die das Subjekt oder das Objekt des Hauptsatzes näher erläutern. Sie können sich aber auch auf den Sachverhalt des ganzen Hauptsatzes beziehen. Eingeleitet werden sie in der Regel durch Relativpronomen (relative pronouns) wie who, which oder that.
Der nachfolgende Artikel behandelt:

  • die unterschiedlichen Bezüge eines Relativsatzes,
  • die einzelnen Relativpronomen und
  • die Unterscheidung zwischen notwendigen und nicht-notwendigen Relativsätzen.

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