Areafunktionen (inverse Hyperbelfunktionen)

Für die Areafunktionen lassen sich explizite Darstellungen unter Verwendung des natürlichen Logarithmus angeben. Im Folgenden wird eine solche Darstellung am Beispiel der Umkehrung der Funktion $y=\sinh x$ entwickelt.

Es gilt $y=ar\sinh x$ genau dann, wenn $x=\sinh y=\frac{1}{2}\left(e^y-e^{-y}\right)$ ist, d.h.:
$2x=e^y-e^{-y}bzw.e^y-2x-\frac{1}{e^y}=0bzw.e^{2y}-2x{e}^y-1=0$

Diese Gleichung lässt sich als quadratische Gleichung in $e^y$ auffassen, deren Lösungen $x\pm \sqrt{x^2+1}$ sind. Da $e^y$ nicht negativ wird, kann nur die Lösung $e^y=x+\sqrt{x^2+1}$ gewählt werden. Somit ist:
$y=ar\sinh x=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$

Entsprechend erhält man für die anderen Areafunktionen die folgenden Darstellungen:
$\begin{array}{l}y=ar\cosh x=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\left(x\in \left[1;\infty \right[\right)\\ y=ar\tanh x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}\left(\left|x\right|<1\right)\\ y=ar\coth x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1}\left(\left|x\right|>1\right)\end{array}$

Die Bilder der Areafunktionen ergeben sich aus denen der hyperbolischen Funktionen durch Spiegelung an der Geraden $y=x$.

In der folgenden Übersicht sind einige Eigenschaften der Areafunktionen zusammengestellt (die sich aus den entsprechenden Eigenschaften des natürlichen Logarithmus ableiten).

Die Bezeichnung Areafunktion resultiert aus der geometrischen Deutung als Flächeninhalt des Sektors einer gleichseitigen Hyperbel (d.h. einer Hyperbel mit der Gleichung $x^2-y^2=1$):

Hier gilt: $A_1=\frac{1}{2}ar\cosh a$
Das lässt sich wie folgt zeigen:
$A_1=A_{OQP}-A_{2}mitQ\left(a;0\right)$
$A_{OQP}=\frac{1}{2}a\sqrt{a^2-1};A_2={\displaystyle \underset{1}{\overset{a}{\int }}\sqrt{x^2-1}}dx$
Die Berechnung von ${\displaystyle \underset{1}{\overset{a}{\int }}\sqrt{x^2-1}}dx$
(mittels Substitution $x=\cosh z$ und anschließender partieller Integration) ergibt:
${\displaystyle \underset{1}{\overset{a}{\int }}\sqrt{x^2-1}}dx=\frac{1}{2}a\sqrt{a^2-1}-\frac{1}{2}ar\cosh a$
Daraus folgt:
$A_1=\frac{1}{2}a\sqrt{a^2-1}-\left(\frac{1}{2}a\sqrt{a^2-1}-\frac{1}{2}ar\cosh a\right)=\frac{1}{2}ar\cosh a$