Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeiten als Übergangswahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm

Bedingte Wahrscheinlichkeiten als Übergangswahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm

  • Als bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung B bezeichnet man P B ( A ) = P ( A B ) P ( B ) , falls P ( B ) 0 gilt.

Anmerkung: Für die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) ist auch die Schreibweise P ( A | B ) üblich. Diese ältere einzeilige Schreibweise P ( A | B ) ist schreibtechnisch zwar vorteilhafter als P B ( A ) , aber bei der Schreibweise P B ( A ) wird die im Vergleich zu P veränderte Wahrscheinlichkeitsfunktion P B stärker hervorgehoben.

Faires Tetraeder

Faires Tetraeder

  • Beispiel: Zweimaliges Werfen eines fairen Tetraeders
    Das Ereignis
    A = { b e i m z w e i t e n W u r f e i n e h ö h e r e A u g e n z a h l a l s b e i m e r s t e n } = { ( 1 ; 2 ) , ( 1 ; 3 ) , ( 1 ; 4 ) , ( 2 ; 3 ) , ( 2 ; 4 ) , ( 3 ; 4 ) }
    hat die Wahrscheinlichkeit 6 16 .
    Sei B nun das Ereignis
    B = { A u g e n s u m m e b e i d e r W ü r f e 5 } = { ( 1 ; 4 ) , ( 2 ; 3 ) , ( 3 ; 2 ) , ( 4 ; 1 ) } ,
    so gilt P ( B ) = 4 16 .
    Folglich ergibt sich:
    P B ( A ) = P ( A B ) P ( B ) = P ( { ( 1 ; 4 ) , ( 2 ; 3 ) } ) P ( B ) = 2 16 4 16 = 1 2

Jede bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung P B ist wie P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auch den drei kolmogorowschen Axiomen genügt. Folglich gelten für P B dieselben Rechenregeln wie für P, z.B. P B ( ) = 0 und P B ( E F ) = P B ( E ) + P B ( F ) P B ( E F ) .

Jede „unbedingte“ Wahrscheinlichkeit P ( A ) kann als bedingte Wahrscheinlichkeit aufgefasst werden, nämlich als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung des sicheren Ereignisses Ω , d.h. P ( A ) = P Ω ( A ) , weil P Ω ( A ) = P ( A Ω ) P ( Ω ) = P ( A ) 1 = P ( A ) gilt.

Um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwendet man außer ihrer Definition und ihren Rechenregeln häufig als praktische Hilfsmittel Baumdiagramme oder Vierfeldertafeln.

Im Baumdiagramm stellen sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten P B ( A ) entsprechend der ersten Pfadregel als Übergangswahrscheinlichkeiten dar (in der folgenden Abbildung links). Um auch die „umgekehrte“ bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) als Übergangswahrscheinlichkeit aus einem Baumdiagramm direkt abzulesen, benötigt man das „umgekehrte“ Baumdiagramm (in der folgenden Abbildung rechts).

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In den Mengendiagrammen Vierfeldertafel und VENN-Diagramm ist P B ( A ) als der Anteil von A zu interpretieren, der in B liegt, d.h. als das Verhältnis des Flächenmaßes von A B zum Flächenmaß von B, also P B ( A ) = P ( A B ) P ( B ) .

Bild

P Ω ( A ) lässt sich auf diese Weise als der Anteil von A interpretieren, der in Ω liegt. Da dies jedoch das gesamte A ist (es gilt A Ω ), erhält man P Ω ( A ) = P ( A Ω ) P ( Ω ) = P ( A ) 1 = P ( A ) .

Stimmt für zwei Ereignisse A und B die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) mit der (unbedingten) Wahrscheinlichkeit P ( A ) überein, so sind A und B unabhängig voneinander.

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