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  6. Der Multiplikationssatz für Ereignisse

Der Multiplikationssatz für Ereignisse

In der Praxis steht man oftmals vor der Notwendigkeit, Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse der Gestalt A ∩ B zu berechnen. Dies erweist sich aber nicht immer als ganz einfach. Wir betrachten dazu zwei Anwendungsbeispiele.

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Beispiel 1: Um die Frage beantworten zu können, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei 17-jährigen Jungen Diabetes auftritt, sollen 1000 rein zufällig ausgewählte männliche Personen im Alter von 17 Jahren gezielt untersucht werden. Dabei ist beabsichtigt, zwei Diagnoseverfahren D 1 und D 2 einzusetzen.

Während das Verfahren D 1 einfach handhabbar und kostengünstig ist, belastet D 2 den Probanden erheblich und verursacht deutlich mehr Kosten als D 1 . Die untersuchte Person hat aber nur dann Diabetes, wenn sowohl D 1 als auch D 2 einen positiven Befund ergeben haben.
(Es soll hier unberücksichtigt bleiben, dass die Ergebnisse derartiger Diagnoseverfahren in der Praxis selbst mit einer gewissen Fehlerwahrscheinlichkeit behaftet sind.)

Anstatt alle 1000 Testpersonen mittels der Verfahren D 1 und D 2 zu untersuchen, wäre es günstiger, zuerst bei allen Probanden D 1 anzuwenden und D 2 dann nur bei jenen, bei denen D 1 einen positiven Befund ( D 1 + ) ergeben hat.

Aber wie lässt sich dann eine Wahrscheinlichkeitsaussage über das relevante Ereignis D 1 + ∩ D 2 + machen?

Wir betrachten dazu den allgemeinen Multiplikationssatz (Produktsatz) für zwei Ereignisse:

  • Sind A, B zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments mit P ( B ) > 0 , so gilt:
    P ( A ∩ B ) = P ( B ) ⋅ P B ( A )

Bezüglich dieses Multiplikationssatzes stellen wir fest:

  1. Der Satz entspricht der ersten Pfadregel im zweistufigen Baumdiagramm (siehe auch die folgende Abbildung).
  2. Der Satz ist eine Produktform der definierenden Gleichung für bedingte Wahrscheinlichkeiten:
    P B ( A ) = P ( A ∩ B ) P ( B )     f ü r       P ( B ) > 0
  • Allgemeiner Multiplikationssatz für zwei Ereignisse im Baumdiagramm

Kehren wir zu unserem Eingangsbeispiel zurück. Nimmt man fiktiv an, dass bei 290 Probanden das Verfahren D 1 einen positiven Befund ergeben hat und dass bei 35 von diesen 290 auch D 2 positiv war, so ergibt sich (wenn man für die betreffenden Wahrscheinlichkeiten näherungsweise die relativen Häufigkeiten verwendet):
  P ( D 1 + ∩ D 2 + ) = P ( D 1 + ) ⋅ P D 1 + ( D 2 + ) = 0,29 ⋅ 35 290 = 0,035 ≈ 0,04

Das Beispiel verdeutlicht auch die Erfahrung aus der Praxis, dass für Berechnungen häufig nicht die Formel für P B ( A ) , sondern der gleichwertige Multiplikationssatz zur Berechnung von P ( A ∩ B ) verwendet wird.

Verallgemeinerung des Multiplikationssatzes für n Ereignisse
Der allgemeine Multiplikationssatz (Produktsatz) für zwei Ereignisse lässt sich wie folgt für n Ereignisse A 1 ,       A 2 ,       ...,       A n verallgemeinern:

  • Sind A 1 ,       A 2 ,       ...,       A n n Ereignisse eines Zufallsexperiments mit P ( A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n − 1 ) > 0 , so gilt:
    P ( A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n ) = P ( A 1 ) ⋅ P A 1 ( A 2 ) ⋅ P A 1 ∩ A 2 ( A 3 ) ⋅ ... ⋅ P A 1 ∩ ... ∩ A n − 1 ( A n )

Diesen Multiplikationssatz kann man sich gut an einem n-stufigen Vorgang veranschaulichen.

  • Allgemeiner Multiplikationssatz für n Ereignisse im Baumdiagramm

Das Ereignis A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n kann gleichsam schrittweise entlang eines Pfades im n-Stufigen Baumdiagramm abgearbeitet werden:

  1. Als Erstes tritt A 1 mit P ( A 1 ) ein.
  2. Unter der Bedingung, dass A 1 eingetreten ist, tritt A 2 mit der Wahrscheinlichkeit P A 1 ( A 2 ) ein.
  3. Unter der Bedingung, dass A 1 ∩ A 2 eingetreten sind, tritt A 3 mit der Wahrscheinlichkeit P A 1 ∩ A 2 ( A 3 ) ein usw.

Wir betrachten auch zum Multiplikationssatz für mehr als zwei Ereignisse ein Beispiel:

Beispiel 2: Jonas, Lars und Karin möchten mit ihren bunten Glaskugeln Murmeln spielen. Sie können sich nicht einigen, wer beginnt. Karin schlägt vor, dass aus ihrem Säckchen, in dem sich genau n = 7 Kugeln, davon g = 5 grüne und n − g = 2 weiße Kugeln, befinden, jeder von ihnen dem Alter nach (der Jüngste beginnt) eine Kugel zieht. Wer als Erster eine grüne Kugel zieht, der darf beim Murmelspiel beginnen.

Lars protestiert, da Jonas als der Jüngste bevorteilt sei. Karin versucht Lars zu beruhigen, indem sie darauf verweist, dass die gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird und dass damit die Gewinnchancen von Lars, der als Zweiter zieht, wachsen müssten. „Und vielleicht ist meine Gewinnchance sogar am größten, denn wenn ich als Dritte zum Ziehen komme, befinden sich nur noch grüne Kugeln im Säckchen“, sagt Karin.

Es sei z i das Ergebnis der i-ten Ziehung mit z i ∈ { g r ü n ;   w e i ß } und i = 1 ;   2 ;   3.

  • Baumdiagramm zum Beispiel „Murmelspiel“

Dann gilt:
  P ( { J o n a s       g e w i n n t } ) = P ( { z 1 = g r ü n } ) = 5 7 ≈ 0,71

  P ( { L a r s       g e w i n n t } ) = P ( { z 1 = w e i ß } ∩ { z 2 = g r ü n } )                         = P ( { z 1 = w e i ß } ) ⋅ P { z 1   =   w e i ß } ( { z 2 = g r ü n } )                         = 2 7 ⋅ 5 6 = 5 21 ≈ 0,24
  P ( { K a r i n       g e w i n n t } ) = P ( { z 1 = w e i ß } ∩ { z 2 = w e i ß } ∩ { z 3 = g r ü n } )                           = P ( { z 1 = w e i ß } ) ⋅ P { z 1 = w e i ß } ( { z 2 = w e i ß } ) ⋅                                   ⋅ P { z 1 = w e i ß } ∩ { z 2 = w e i ß } ( { z 3 = g r ü n } )                           = 2 7 ⋅ 1 6 ⋅ 5 5 = 1 21 ≈ 0,05

Die Vermutung von Lars hat sich folglich als richtig erwiesen. Da Jonas zuerst ziehen durfte, hat er die größte Gewinnchance.

Es kann auch interaktiv untersucht werden, ob es möglich ist, die Werte für n und g so zu wählen, dass der Vorteil der ersten Ziehung hinsichtlich der Gewinnchancen der Nachziehenden ausgeglichen werden kann, wie die folgenden Abbildungen zeigen.

  • Drei mögliche Werte der Funktion „ jolaka“
  • Definition der Funktion „jolaka“ (zum Berechnen der drei Gewinnahrscheinlichkeiten für Jonas, Lars und Karin (Beispiel mit Variablen n und g)

Wird in obigem Beispiel die gezogene Kugel allerdings wieder zurückgelegt, dann würden die Chancen für den Nachziehenden, eine grüne Kugel zu ziehen, gleich bleiben, d.h. es würde gelten:
  P { z 1 = w e i ß } ( { z 2 = g r ü n } ) = P ( { z 2 = g r ü n } )
und
  P ( { z 1 = w e i ß } ∩ { z 2 = g r ü n } ) = P ( { z 1 = w e i ß } ) ⋅ P ( { z 2 = g r ü n } )

Die Information, dass Jonas eine weiße Kugel gezogen hat, bringt Lars in diesem Fall auch keine erhöhte Chance, eine grüne Kugel zu ziehen. Dies bedeutet, es liegt stochastische Unabhängigkeit vor.

Für n voneinander (vollständig) unabhängige Ereignisse vereinfacht sich der Multiplikationssatz zu folgender Aussage (spezieller Multiplikationssatz):
  P ( A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n ) = P ( A 1 ) ⋅ P ( A 2 ) ⋅ ... ⋅ P ( A n )

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Der Multiplikationssatz für Ereignisse." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/der-multiplikationssatz-fuer-ereignisse (Abgerufen: 23. May 2025, 07:17 UTC)

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Der Satz von Bayes

Der nach dem englischen Geistlichen THOMAS BAYES (1702 bis 1761) benannte Satz macht Aussagen zum Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten.
Der Satz von Bayes soll im Folgenden anhand eines Anwendungsbeispieles hergeleitet werden.

Thomas Bayes

* 1702 London
† 17. April 1761 Tunbridge Wells, Kent

Der mathematisch interessierte englische Geistliche THOMAS BAYES beschäftigte sich u.a. mit Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Auf ihn geht die sogenannte bayessche Formel zum Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten zurück.

Rechenregeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten

Um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwendet man als Hilfsmittel außer ihrer Definition auch Baumdiagramme oder Vierfeldertafeln.
Ein Berechnen bedingter Wahrscheinlichkeiten ist auch mithilfe des allgemeinen Produkt- oder Multiplikationssatzes und des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeiten möglich. Diese beiden Sätze entsprechen der ersten bzw. zweiten Pfadregel im Baumdiagramm.
Anhand eines Anwendungsbeispieles soll im Folgenden das Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten demonstriert werden.

Totale Wahrscheinlichkeit

Mitunter wird man mit dem Problem konfrontiert, die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A zu berechnen, das im Zusammenhang mit n verschiedenen Ereignissen B i auftritt (in der Praxis können die B i zum Beispiel verschiedene Fälle oder Ursachen von A sein), wobei sich die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse B i und insbesondere für das Eintreten von A unter der Bedingung, dass jeweils ein B i eingetreten ist, mitunter leichter angeben bzw. ermitteln lassen.

Gesucht ist also eine Aussage über eine „unbedingte“ Wahrscheinlichkeit, wenn Informationen über bedingte Wahrscheinlichkeiten vorliegen bzw. primär bestimmbar sind. Bei einer solchen Problemsituation wird man versuchen, den im Folgenden angeführten Satz der totalen Wahrscheinlichkeit anzuwenden.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Der Grad der Gewissheit über das Eintreten eines zufälligen Ereignisses A wird durch seine Wahrscheinlichkeit P ( A ) angegeben.
Liegt jedoch die Information über das Eintreten eines Ereignisses B vor, so kann diese die Bewertung der Eintrittschancen von A verändern, was durch die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) beschrieben wird.

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