Binomialkoeffizienten

Binomialkoeffizienten lassen sich nach der rekursiven Bildungsvorschrift des bekannten pascalschen Dreiecks ermitteln.

Pascalsches Dreieck und Berechnung von Binomen

Pascalsches Dreieck und Berechnung von Binomen

Ein solches Vorgehen hat aber den Nachteil, dass für die Berechnung der Koeffizienten von (a+b)n die von (a+b)n1 bekannt sein müssen.
Günstiger und effektiver ist es daher oftmals, die folgende Definition als explizite Bildungsvorschrift zu verwenden.

  • Als Binomialkoeffizienten (nk)(gelesen: n über k) bezeichnet man den Term (nk)=n!k!(nk)!=n(n1)...[n(k1)]12...k
    mit n,kund nk.

Anmerkung: Der in der Definition auftretende Term n! (gelesen: n Fakultät) besitzt die folgende explizite Bildungsvorschrift:
n!={12...nfürn+1fürn=0

Die rekursive Bildungsvorschrift von n! lautet:
0!=1(n+1)!=n!(n+1)fürn

  • Beispiel   (103)=10!3!7!=8910123=120

Die Binomialkoeffizienten sind bei vielen Taschenrechnern mittels einer speziellen (Tasten-)Funktion nCr auch direkt abrufbar.

Rechenregeln für Binomialkoeffizienten

  • Regel 1: (n0)=(nn)=1

Beweis:
(n0)=n!0!(n0)!=n!1n!=1(nn)=n!n!(nn)!=n!n!0!=1w.z.b.w.
Im pascalschen Dreieck haben daher alle Randzahlen den Wert 1.

  • Regel 2: (n1)=(nn1)=n

Im pascalschen Dreieck bilden daher sowohl die zweiten als auch die vorletzten Zeilenzahlen die Folge der natürlichen Zahlen.

  • Regel 3: (nk)=(nnk)

Daraus ergibt sich im pascalschen Dreieck die symmetrische Anordnung der Zahlen.

  • Regel 4: (nk)+(nk+1)=(n+1k+1)

Beweis:
Die linke Seite der zu beweisenden Gleichung wird schrittweise so umgeformt, bis man die rechte Seite erhält:
(nk)+(nk+1)=n!k!(nk)!+n!(k+1)!(nk1)!=n!(k+1)+n!(nk)(k+1)!(nk)!=n!k+n!+n!nn!k(k+1)!(nk)!=n!(1+n)(k+1)!(nk)!=(n+1)!(k+1)!(nk)!=(n+1k+1)w.z.b.w.

Im pascalschen Dreieck entspricht diese Regel der folgenden rekursiven Bildungsvorschrift: Die inneren Zahlen jeder Zeile entstehen, indem die zwei darüber stehenden benachbarten Zahlen addiert werden.

  • Regel 5: (n+1k+1)=n+1k+1(nk)

Anmerkung: Die Regeln 2, 3 und 5 werden ähnlich wie die Regeln 1 und 4 mithilfe der allgemeinen Definition für Binomialkoeffizienten und der Kürzungsregel für Fakultäten bewiesen.

Im Folgenden werden einige Anwendungen der Binomialkoeffizienten angegeben.

  1. Binomischer Lehrsatz:
    (a+b)n=k=0n(nk)akbnk(n,k)
    Spezialfall (a=b=1):
    2n=k=0n(nk)
     
Berechnen von Binomen

Berechnen von Binomen

  1. Zählprinzip für Mengen
    Beim Zahlenlotto „6 aus 49“ gibt es insgesamt
    (496)=49!6!43!=444546474849123456=13983816
    verschiedene Tipps.
     
  2. Urnenmodell ohne Zurücklegen
    Beim Zahlenlotto „6 aus 49“ beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau k Richtige
    (6k)(436k)(496);(k=0;1;...;6).
     
  3. Binomialverteilung
    Die Wahrscheinlichkeit, beim viermaligen Werfen eines idealen Würfels, dessen Seitenflächen mit 1 bis 6 durchnummeriert sind, genau k Einsen zu werfen, beträgt:
    (4k)(16)k(56)4k(k=0;1;2;3;4)

Abschließend sollen noch zwei Verallgemeinerungen des Begriffes der Binomialkoeffizienten angegeben werden.

  1. Verallgemeinerung:
    (αk)=α(α1)...(αk1)k!(α;k)

Diese Verallgemeinerung wird in der Analysis angewandt (TAYLOR-Reihen von Funktionen) und kann auch häufig mit der Taschenrechner nCr-Funktion berechnet werden, z.B. ist:
(1,73)=1,70,7(0,3)123=0,0595(34)=(3)(4)(5)(6)1234=15(35)=3210(1)12345=0

Berechnen von Binomialkoeffizienten (Verallgemeinerung)

Berechnen von Binomialkoeffizienten (Verallgemeinerung)

Die angegebene Verallgemeinerung des Begriffs der Binomialkoeffizienten wird bei der Angabe der mittels TAYLOR-Entwicklung gewonnenen binomischen Reihe genutzt. Es gilt:
(1+x)α=1+(α1)x+(α2)x2+...

Dies ermöglicht z.B. die Angabe von Näherungsformeln wie die folgende:
(1+x)12=(121)x+(122)x2+(123)x3+...=1+12x+12(121)12x2+12(121)(122)123x3+...=1+12x18x2+116x3...

  1. Verallgemeinerung: Polynomialkoeffizienten
    (nk1k2...kr)=n!k1!k2!...kr!mitn=i=1rki

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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