Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 13 Wahrscheinlichkeitstheorie
  4. 13.2 Gleichverteilung (Laplace-Experimente)
  5. 13.2.5 Zählprinzip bei n-elementigen Mengen
  6. Binomialkoeffizienten

Binomialkoeffizienten

Gilt es, Wahrscheinlichkeiten zum Beispiel im Zusammenhang mit der Binomialverteilung oder mit dem Abzählprinzip für die Gleichverteilung zu berechnen, werden als Binomialkoeffizienten bezeichnete Terme verwandt. Es sind dies die Koeffizienten, die beim Entwickeln der n-ten Potenz eines Binoms ( a + b ) auftreten.
Sie werden u.a. angewandt, um Wahrscheinlichkeiten (etwa im Zusammenhang mit der Binomialverteilung oder mit dem Abzählprinzip für Mengen) zu berechnen.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Binomialkoeffizienten lassen sich nach der rekursiven Bildungsvorschrift des bekannten pascalschen Dreiecks ermitteln.

  • Pascalsches Dreieck und Berechnung von Binomen

Ein solches Vorgehen hat aber den Nachteil, dass für die Berechnung der Koeffizienten von ( a + b ) n die von ( a + b ) n   −   1 bekannt sein müssen.
Günstiger und effektiver ist es daher oftmals, die folgende Definition als explizite Bildungsvorschrift zu verwenden.

  • Als Binomialkoeffizienten ( n k ) (gelesen: n über k) bezeichnet man den Term ( n k ) = n ! k !   ⋅ ( n − k ) ! = n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ ... ⋅ [ n − ( k − 1 ) ] 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ k
    mit n ,   k ∈ ℕ und n ≥ k .

Anmerkung: Der in der Definition auftretende Term n! (gelesen: n Fakultät) besitzt die folgende explizite Bildungsvorschrift:
  n ! = { 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n f ü r       n ∈ ℕ + 1 f ü r       n = 0          

Die rekursive Bildungsvorschrift von n! lautet:
  0 ! = 1   ( n + 1 ) ! = n !   ⋅ ( n + 1 )   f ü r       n ∈ ℕ

  • Beispiel:     ( 10 3 ) = 10 ! 3 !   ⋅ 7 ! = 8 ⋅ 9 ⋅ 10 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 120

Die Binomialkoeffizienten sind bei vielen Taschenrechnern mittels einer speziellen (Tasten-)Funktion nCr auch direkt abrufbar.

Rechenregeln für Binomialkoeffizienten

  • Regel 1: ( n 0 ) = ( n n ) = 1

Beweis:
  ( n 0 ) = n ! 0 !   ⋅ ( n − 0 ) ! = n ! 1 ⋅ n ! = 1   ( n n ) = n ! n !   ⋅ ( n − n ) ! = n ! n !   ⋅ 0 ! = 1         w . z . b . w .
Im pascalschen Dreieck haben daher alle Randzahlen den Wert 1.

  • Regel 2: ( n 1 ) = ( n n − 1 ) = n

Im pascalschen Dreieck bilden daher sowohl die zweiten als auch die vorletzten Zeilenzahlen die Folge der natürlichen Zahlen.

  • Regel 3: ( n k ) = ( n n − k )

Daraus ergibt sich im pascalschen Dreieck die symmetrische Anordnung der Zahlen.

  • Regel 4: ( n k ) + ( n k + 1 ) = ( n + 1 k + 1 )

Beweis:
Die linke Seite der zu beweisenden Gleichung wird schrittweise so umgeformt, bis man die rechte Seite erhält:
  ( n k ) + ( n k + 1 ) = n ! k !   ⋅ ( n − k ) ! + n ! ( k + 1 ) !   ⋅ ( n − k − 1 ) ! = n !   ⋅ ( k + 1 ) + n !   ⋅ ( n − k ) ( k + 1 ) !   ⋅ ( n − k ) ! = n !   ⋅ k + n ! + n !   ⋅ n − n !   ⋅ k ( k + 1 ) !   ⋅ ( n − k ) ! = n !   ⋅ ( 1 + n ) ( k + 1 ) !   ⋅ ( n − k ) ! = ( n + 1 ) ! ( k + 1 ) !   ⋅ ( n − k ) ! = ( n + 1 k + 1 )                       w . z . b . w .

Im pascalschen Dreieck entspricht diese Regel der folgenden rekursiven Bildungsvorschrift: Die inneren Zahlen jeder Zeile entstehen, indem die zwei darüber stehenden benachbarten Zahlen addiert werden.

  • Regel 5: ( n + 1 k + 1 ) = n + 1 k + 1 ⋅ ( n k )

Anmerkung: Die Regeln 2, 3 und 5 werden ähnlich wie die Regeln 1 und 4 mithilfe der allgemeinen Definition für Binomialkoeffizienten und der Kürzungsregel für Fakultäten bewiesen.

Im Folgenden werden einige Anwendungen der Binomialkoeffizienten angegeben.

  1. Binomischer Lehrsatz:
    ( a + b ) n = ∑ k   =   0 n ( n k ) ⋅ a k b n   −   k     ( n ,   k ∈ ℕ )
    Spezialfall ( a = b = 1 ) :
    2 n = ∑ k = 0 n ( n k )
     
  • Berechnen von Binomen
  1. Zählprinzip für Mengen
    Beim Zahlenlotto „6 aus 49“ gibt es insgesamt
      ( 49 6 ) = 49 ! 6 !   ⋅ 43 ! = 44 ⋅ 45 ⋅ 46 ⋅ 47 ⋅ 48 ⋅ 49 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 13   983   816
    verschiedene Tipps.
     
  2. Urnenmodell ohne Zurücklegen
    Beim Zahlenlotto „6 aus 49“ beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau k Richtige
      ( 6 k ) ⋅ ( 43 6 − k ) ( 49 6 ) ;   ( k = 0 ;   1 ;   ... ;   6 ) .
     
  3. Binomialverteilung
    Die Wahrscheinlichkeit, beim viermaligen Werfen eines idealen Würfels, dessen Seitenflächen mit 1 bis 6 durchnummeriert sind, genau k Einsen zu werfen, beträgt:
      ( 4 k ) ⋅ ( 1 6 ) k ⋅ ( 5 6 ) 4 − k     ( k = 0 ;   1 ;   2 ;   3 ;   4 )

Abschließend sollen noch zwei Verallgemeinerungen des Begriffes der Binomialkoeffizienten angegeben werden.

  1. Verallgemeinerung:
    ( α k ) = α ⋅ ( α − 1 ) ⋅ ... ⋅ ( α − k − 1 ) k !     ( α ∈ ℝ ;       k ∈ ℕ )

Diese Verallgemeinerung wird in der Analysis angewandt (TAYLOR-Reihen von Funktionen) und kann auch häufig mit der Taschenrechner nCr-Funktion berechnet werden, z.B. ist:
  ( 1,7 3 ) = 1,7 ⋅ 0,7 ⋅ ( − 0,3 ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = − 0,0595   ( − 3 4 ) = ( − 3 ) ⋅ ( − 4 ) ⋅ ( − 5 ) ⋅ ( − 6 ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 15   ( 3 5 ) = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 0 ⋅ ( − 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 0

  • Berechnen von Binomialkoeffizienten (Verallgemeinerung)

Die angegebene Verallgemeinerung des Begriffs der Binomialkoeffizienten wird bei der Angabe der mittels TAYLOR-Entwicklung gewonnenen binomischen Reihe genutzt. Es gilt:
  ( 1 + x ) α = 1 + ( α 1 ) x + ( α 2 ) x 2 + ...

Dies ermöglicht z.B. die Angabe von Näherungsformeln wie die folgende:
  ( 1 + x ) 1 2 = ( 1 2 1 ) x + ( 1 2 2 ) x 2 + ( 1 2 3 ) x 3 + ... = 1 + 1 2 x + 1 2 ⋅ ( 1 2 − 1 ) 1 ⋅ 2 x 2 + 1 2 ⋅ ( 1 2 − 1 ) ⋅ ( 1 2 − 2 ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 x 3 + ... = 1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + 1 16 x 3 ∓ ...

  1. Verallgemeinerung: Polynomialkoeffizienten
      ( n k 1 k 2 ... k r ) = n ! k 1 !   ⋅ k 2 !   ⋅ ... ⋅ k r !     m i t       n = ∑ i   =   1 r k i
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Binomialkoeffizienten." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/binomialkoeffizienten (Abgerufen: 19. May 2025, 14:39 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Polynomialkoeffizienten
  • Berechnung
  • Binom
  • Mathcad
  • Taylorreihen
  • Zählprinzip für Mengen
  • pascalsches Dreieck
  • Wahrscheinlichkeiten
  • Fakultät
  • binomischer Lehrsatz
  • Abzählprinzip
  • interaktives Rechenbeispiel
  • Gleichverteilung
  • Binomialverteilung
  • Urnenmodell
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Hypothesen und Entscheidungsfehler

Beurteilende Statistik setzt quantitatives Beschreiben von Grundgesamtheiten bzw. Stichproben voraus. Begründete Vermutungen über stochastische Eigenschaften von Grundgesamtheiten nennt man Hypothesen. Auf der Grundlage statistischer Tests wird entschieden, ob die zu überprüfende Hypothese abzulehnen (zu verwerfen) ist oder nicht.

Wahrscheinlichkeiten, Berechnen

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Berechnen von Wahrscheinlichkeiten für k Erfolge bei einer Bernoulli-Kette".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Ermitteln

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Ermitteln von Wahrscheinlichkeitsverteilungen".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

Zählprinzipien

Bei der Lösung kombinatorischer Probleme sind zwei Zählprinzipien hilfreich – das für k-Tupel und das für Mengen.

Mehrstufige Zufallsexperimente

Besteht ein zufälliger Vorgang aus mehreren, nacheinander ablaufenden Teilvorgängen (oder aus Teilvorgängen, die als nacheinander ablaufend interpretiert werden können), so spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment (Zufallsversuch).

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025