Kenngrößen von Zufallsgrößen

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Die wichtigste und einfachste derartige Angabe ist der Erwartungswert einer Zufallsgröße X (Abkürzung EX oder $\mu$).

• Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße X, die die Werte $x_i$ mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten $p_i\left(miti=1;2;\mathrm{...}\right)$ annehmen kann, ist wie folgt definiert:
  $\mu =EX={\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{x}_i\cdot p_i}$
   
  Für eine stetige Zufallsgröße X mit der Dichte(funktion) f gilt:
  $\mu =EX={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}x\cdot f\left(x\right)}dx$

Die herausgehobene Stellung des Erwartungswertes hängt vor allem mit folgenden Umständen zusammen:

1. Bei n unabhängigen Realisierungen einer Zufallsgröße X stabilisiert sich das arithmetische Mittel der Ergebnisse für große n beim Erwartungswert der Zufallsgröße, d.h. das empirisch gewonnene arithmetische Mittel kann als Schätzwert für den Erwartungswert dienen. Andererseits ermöglicht der Erwartungswert eine Prognose über das arithmetische Mittel bei vielen Beobachtungswerten einer Zufallsgröße X.
2. Bei einer Reihe von Zufallsgrößen, deren Verteilungen nur von einem Parameter abhängen, reicht (wie etwa bei der POISSON-Verteilung) die Kenntnis des Erwartungswertes für die vollständige Charakterisierung der Zufallsgröße aus.
   Bei praktischen Problemen kann man mitunter aufgrund von inhaltlichen Überlegungen vom Vorliegen einer POISSON-Verteilung ausgehen. Dann beschreibt das arithmetische Mittel der Beobachtungswerte die Zufallsgröße hinreichend.
3. Bei symmetrischen Verteilungen (wie etwa der Normalverteilung) bildet der Erwartungswert eine Art Zentrum dieser Verteilung, um das sich alle anderen Werte mehr oder weniger eng gruppieren.
   Der Erwartungswert ist in diesen Fällen ein typischer Wert der Zufallsgröße. So repräsentiert z.B. bei einem n-mal unabhängig durchgeführten Messvorgang, von dem man annehmen kann, dass er einer normalverteilten Zufallsgröße entspricht, der Erwartungswert den tatsächlich zu messenden Wert.

Hat man es allerdings mit einer asymmetrischen, schiefen Verteilung zu tun, so beschreibt die Lage des Erwartungswertes im Allgemeinen keinen typischen Wert.

• Beispiel: Die Lebensdauer von Glühlampen kann durch die in der folgenden Abbildung wiedergegebene Dichtefunktion beschrieben werden.

Der Erwartungswert ist kein typischer Wert, d.h. in einem solchen Fall wird man versuchen, die Verteilung durch weitere Kenngrößen zu beschreiben. Das ist auch deshalb erforderlich, weil nicht jede Zufallsgröße einen Erwartungswert besitzt.

Median und Modalwert einer Zufallsgröße

Weitere Kenngrößen einer Zufallsgröße sind der Median und der Modalwert.

• Median der Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion F heißt der Argumentwert $x_M$, für den die Ungleichungen $F\left(x_M\right)\le \mathrm{0,5}\le F\left(x_M+0\right)$ gelten.

Wenn die Funktion F stetig ist, so gibt es mindestens eine Zahl $x_M$ mit $F\left(x_M\right)=\mathrm{0,5}$. Der Median halbiert die Verteilung. Man spricht auch vom mittelsten Wert der Verteilung.

• Als Modalwert M einer Zufallsgröße bezeichnet man einen solchen Wert, für den die Einzelwahrscheinlichkeit (diskrete Zufallsgröße) bzw. die Wahrscheinlichkeitsdichte (stetige Zufallsgröße) maximal wird.
  Man spricht auch vom häufigsten Wert.

Streuung (bzw. Varianz) einer Zufallsgröße

Zufallsgrößen mit gleichem Erwartungswert unterscheiden sich ggf. noch wesentlich voneinander, denn die einzelnen Werte der Zufallsgrößen können in unterschiedlicher Weise um den Erwartungswert streuen.

Das gebräuchlichste Maß der Streuung (bzw. Varianz) ist heute die mittlere quadratische Abweichung.

• Die Streuung (bzw. Varianz) einer diskreten Zufallsgröße X ist folgendermaßen definiert:
  $D^{2}X=VarX=E{\left(X-EX\right)}^2={\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\left(x_i-\mu \right)}^2{p}_i}$
  Die Streuung (bzw. Varianz) einer stetigen Zufallsgröße X mit der Dichte f ist definiert durch:
  $D^{2}X=VarX=E{\left(X-EX\right)}^2={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left(x-\mu \right)}^2\cdot f\left(x\right)}dx$

Aufgrund der Linearität des Erwartungswertes erhält man durch einfache algebraische Umformung die folgende (für Berechnungen nützliche) Formel:
$D^{2}X=E\left(X^2\right)-{\left(EX\right)}^2$

Bezüglich der Streuung von Zufallsgrößen lässt sich Folgendes feststellen:

1. Die Streuung ist ein quantitatives Maß für den Grad der Verstreutheit einer Zufallsgröße X. Bei kleiner Streuung sind große Abweichungen der Zufallsgröße X vom Erwartungswert EX eher unwahrscheinlich. Umgekehrt liegen bei einer großen Streuung nicht alle Werte von X in der Nähe des Erwartungswertes.
2. Eine Zufallsgröße besitzt genau dann die Streuung 0, wenn diese Zufallsgröße mit Wahrscheinlichkeit 1 nur einen einzigen Wert annimmt. Dieser ist dann gleichzeitig der Erwartungswert.
   Man spricht in diesem Fall von einer Einpunktverteilung. Dies deckt sich auch mit den inhaltlichen Vorstellungen, die man von der Streuung besitzt.
3. Die Streuung ist von der speziellen Wahl des Koordinatenursprungs unabhängig. Sie kennzeichnet die Ausbreitung einer Verteilung. Deshalb bezeichnet man sie bisweilen auch als einen Ausbreitungsparameter der Zufallsgröße.

Nicht wenige Zufallsgrößen besitzen eine asymmetrische Verteilung. Zur Charakterisierung der Asymmetrie benutzt man die Kenngröße Schiefe. Für diese Kenngröße gibt es unterschiedliche Definitionen. Wir geben hier die relativ einfache, auf den Vater der mathematischen Statistik KARL PEARSON (1857 bis 1936) zurückgehende Fassung an.

• Gemäß der Definition durch KARL PEARSON ist die Schiefe der Quotient aus der Differenz des Erwartungswertes EX und des Modalwertes M sowie der Standardabweichung DX von X, d.h. für die Schiefe gilt:
  $\frac{EX-M}{DX }$

Die Normalverteilung als eine symmetrische Verteilung besitzt die Schiefe 0. Die Exponentialverteilung, bei der der „längere Teil“ rechts vom Erwartungswert $EX=\frac{1}{\lambda }$ liegt, besitzt eine positive Schiefe, und zwar mit dem Wert 1, da $M=0$ und $DX=\frac{1}{\lambda }$ ist.