Definition der Binomialverteilung

  • Definition: Eine Zufallsgröße X, welche die 0;1;2;...;n Werte mit den Wahrscheinlichkeiten
    P(X=k)=Bn;p({k})=(nk)pk(1p)nk für k{0;1;2;...;n}
    annimmt, heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p oder auch kurz Bn;p-verteilt.
    Die zu X gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man Binomialverteilung mit den Parametern n und p.

Die Binomialverteilung genügt den drei kolmogorowschen Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Als abkürzende Schreibweise verwendet man XBn;p. Anstelle von Bn;p({k}) werden auch (in Anlehnung an die Wahrscheinlichkeitsfunktion als Stammfunktion ihrer Dichtefunktion bei stetigen Zufallsgrößen) die Bezeichnungen fB(k;n;p) oder die weniger genaue Schreibweise bn;p(k) verwendet.

Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Urnenmodells „Ziehen mit Zurücklegen“: Einer Urne mit genau N Kugeln (M weißen, N – M roten) werden nacheinander genau n Kugeln „auf gut Glück“ und mit Zurücklegen entnommen.
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der herausgegriffenen weißen Kugeln, so ist XBn;p mit p=MN.

Auf der Basis dieses Urnenmodells findet die Binomialverteilung breite Anwendung in der statistischen Qualitätskontrolle.

Eine Veranschaulichung der Binomialverteilung ist grafisch mithilfe eines Histogramms und experimentell mithilfe eines GALTON-Brettes möglich.

Histogramm einer Binomilaverteilung

Binomialwahrscheinlichkeiten können mittels eines Taschenrechners (bzw. Computers) oder mit einem geeigneten Tafelwerk berechnet werden. In vielen Tafelwerken findet man Bn;p-Tabellen für bestimmte Parameter n und p.

  • Beispiel: Der laufenden Produktion von Speicherchips, die erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,87 intakt sind, werden zehn Chips entnommen und dann kontrolliert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau k intakte unter den zehn entnommenen Chips?

Unter der Annahme, dass die zehn Chips rein zufällig entnommen wurden, kann der obige Vorgang durch das folgende Urnenmodell beschrieben werden:
Einer Urne mit genau 100 Kugeln (87 weißen und 13 roten) werden nacheinander „auf gut Glück“ und mit Zurücklegen genau zehn Kugeln entnommen.
Bezeichnet X die zufällige Anzahl der intakten Chips unter den zehn entnommenen, so ist XB100;0,87.

Die Aufgabe kann interaktiv mit der Funktion bi(10,0.87,k) für 0k10 gelöst werden.

Funktionswerte von bi(10, 0.87, k)

Für k=9 erhält man z.B.:
P(X=9)=B10;0,87({9})=(109)0,8790,131=bi(10,.87,9)0,37

Anregung: Die Funktion bi(n,p,k) gestattet es, die Wahrscheinlichkeit für beliebige Werte einer binomialverteilten Zufallsgröße zu berechnen. Auf diese Weise können auch die in der Aufgabenstellung des Beispiels vorgegebenen Werte interaktiv verändert werden.

Definition der Funktion bi(n, p, k)

Grafisch lassen sich die im Beispiel gewonnenen Ergebnisse mit einem Histogramm veranschaulichen. Dazu trägt man in einem Koordinatensystem auf dessen Abszissenachse die Werte k=0;1;2;...;10 und auf der Ordinatenachse die Wahrscheinlichkeiten B10;0,87({k}) ab.

Bild

Genutzt werden kann aber auch das Programm drawbi(n,p) mit den Werten n=10 und p=0,87.

Programm drawbi(n, p)

Interaktives Erkunden des Verlaufs der Binomialverteilung

Das Programm drawbi(n,p) gestattet es, interaktiv weitere Einsichten zum Verlauf der Binomialverteilung zu gewinnen. Wenn man z.B. in drawbi(n,p) für n einen bestimmten konstanten Wert eingibt und die Histogramme für verschiedene Werte von p miteinander vergleicht, kann man u.a. zu folgenden Ergebnissen gelangen:

  1. Die Lage des höchsten Rechtecks wandert mit wachsenden p nach rechts. Das höchste Rechteck befindet sich bei k=0,5n.
    Die Höhe des höchsten Rechtecks nimmt mit wachsenden p für p0,5 ab und für p0,5 wieder zu. Das Histogramm „zerfließt“ am stärksten für p=0,5.
  2. Nur das Histogramm für p=0,5 ist axialsymmetrisch, und zwar zur Geraden mit der Gleichung k=0,5n. Je mehr p von 0,5 anweicht, desto asymmetrischer wird das Histogramm.
  3. Das Histogramm von Bn;p ist das Spiegelbild von Bn;1p bezüglich der Spiegelgeraden mit der Gleichung k=0,5n.

Wenn man die von drawbi(n,p) erzeugten Histogramme für konstantes p und variables n miteinander vergleicht, kann man u.a. zu folgenden Ergebnissen gelangen:

  1. Die Histogramme werden mit wachsendem n zunehmend axialsymmetrischer.
  2. Die Histogramme werden mit wachsendem n zunehmend breiter und zugleich flacher. Man kann davon sprechen, dass die Wahrscheinlichkeitsmasse 1 „zerfließt“.
  3. Einige Histogramme (für die (n+1)0,3 ganzzahlig ist) besitzen zwei nebeneinander liegende maximal hohe Rechtecke, und zwar für k=(n+1)p1 und für k=(n+1)p

Die Berechnung und grafische Darstellung einer Binomialverteilung kann auch mithilfe einer Tabellenkalkulation erfolgen.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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