Das elektrische Feld in einem Koaxialkabel

1. Aufgabe:
Die elektrische Feldstärke in einem Koaxialkabel, an dem die Spannung U liegt, wird durch folgende Gleichung beschrieben:
$E=\frac{U}{r\cdot \ln \frac{r_2}{r_1}}$

Stellen Sie den Zusammenhang grafisch dar und kennzeichnen Sie den Gültigkeitsbereich!

2. Aufgabe:
Wie muss man ein solches Kabel dimensionieren, damit die Gefahr von Überschlägen möglichst gering ist?
Überlegen Sie zunächst, an welcher Stelle die Feldstärke am größten ist, schreiben Sie die Formel für diesen Fall auf und berechnen Sie, für welches $r_2$ diese Feldstärke am kleinsten ist!

3. Aufgabe:
An einem Koaxialkabel $\left(r_1=\mathrm{0,5}cm,r_2=\mathrm{1,5}cm\right)$ liegt eine Spannung von $30kV.$
Wie groß ist die elektrische Feldstärke am Innenleiter?
Wie groß ist die elektrische Feldstärke in einer kleinen Luftblase am Innenleiter, wenn das Dielektrikum die Dielektrizitätskonstante ${\epsilon }_r=4$ hat?

Lösungen

1. Grafische Darstellung mit Gültigkeitsbereich:

2. Die Feldstärke E ist maximal am Innenleiter. Dort ist $E=\frac{U}{r_1\cdot \ln \frac{r_2}{r_1}}$.
Dieser Ausdruck soll ein Minimum werden.

$\frac{\text{d}E}{\text{d}{r}_1}=\frac{-U\cdot \left(\ln \frac{r_2}{r_1}-1\right)}{{\left(r_1\cdot \ln \frac{r_2}{r_1}\right)}^2}$,

Nullsetzen liefert $\ln \frac{r_2}{r_1}=\mathrm{1,}alsoist\frac{r_2}{r_1}=\text{e}\approx \mathrm{2,7.}$

3. Für die elektrische Feldstärke gilt: $E=\frac{\text{30kV}}{\text{0}\text{,5cm}\cdot \text{ln3}}=\text{54}\text{,6}\frac{\text{kV}}{\text{cm}}$
In der Luftblase steigt die Feldstärke um den Faktor 4, erreicht also den Wert $\mathrm{218,5}\frac{\text{kV}}{\text{cm}}$.