- Lexikon
- Mathematik Abitur
- 13 Wahrscheinlichkeitstheorie
- 13.5 Binomialverteilung
- 13.5.7 Normalverteilung
- Dreiecksverteilung (simpsonsche Verteilung)
THOMAS SIMPSON war von Beruf Weber. Seinen Lebensunterhalt verdiente er sich vor allem als Mathematiklehrer (zuerst an einer Abendschule in Derby und später an der Königlichen Militärakademie in London). Sein Hauptinteresse galt der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Analysis. Bekannt geworden ist er auch durch die simpsonsche Formel zur näherungsweisen Flächenberechnung.
Mit der Dreiecksverteilung diskreter Zufallsgrößen beschäftigte sich SIMPSON, um die in der damaligen Praxis übliche Verwendung des arithmetischen Mittels zum Messfehlerausgleich als gerechtfertigt nachzuweisen. Er zeigte, dass diese Verfahrensweise sinnvoll ist, wenn die Häufigkeiten von n äquidistanten diskreten Messwerten ein Dreieck bilden, wenn also z.B. gilt:
Messwert | - 4 | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Häufigkeit | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Vergleiche dazu auch die folgende Abbildung.
Dreiecksverteilung diskreter Zufallsgrößen
Diesen Ansatz für eine diskrete Dreiecksverteilung kann man auf stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ausdehnen.
Dichtefunktion einer dreiecksverteilten stetigen Zufallsgröße
Für eine dreiecksverteilte stetige Zufallsgröße X gilt:
Für die zugehörige Verteilungsfunktion F dieser Zufallsgröße erhält man:
Verteilungsfunktion einer dreiecksverteilten stetigen Zufallsgröße
Die beiden wichtigsten Kenngrößen von X, der Erwartungswert und die Streuung, nehmen folgende Werte an:
Die folgende Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung wieder.
Augen- summe i | günstige Ergebnisse für die Augensumme | Anzahl | |
2 | (1; 1) | 1 | |
3 | (1; 2), (2; 1) | 2 | |
4 | (1; 3), (2; 2), (3; 1) | 3 | |
5 | (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1) | 4 | |
6 | (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1) | 5 | |
7 | (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) | 6 | |
8 | (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2) | 5 | |
9 | (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3) | 4 | |
10 | (4; 6), (5; 5), (6; 4) | 3 | |
11 | (5; 6), (6; 5) | 2 | |
12 | (6; 6) | 1 |
Die Zufallsgröße Y besitzt als Wahrscheinlichkeitsverteilung eine diskrete Dreieckverteilung. Dieses theoretisch gewonnene Ergebnis kann experimentell und interaktiv bestätigt werden, indem man das zweimalige Würfeln mit einem L-Würfel simuliert und 1000 derartige Simulationen als Histogramm darstellen lässt.
Simulation durch zweimaliges Würfeln mit einem L-Würfel
Histogramm zur Simulation (zweimaliges Würfeln mit einem L-Würfel)
Dieses Ergebnis lässt sich folgendermaßen verallgemeinern:
Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.
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