Flächeninhaltsberechnungen

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Flächeninhaltsberechnungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/flaecheninhaltsberechnungen (Abgerufen: 01. March 2026, 02:28 UTC)

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Flächenberechnung durch Integralrechnung

Aus der geometrischen Deutung des bestimmten Integrals resultiert die Flächenberechnung als grundlegende Anwendung der Integralrechnung.
Dabei erfordern Unterschiede in Form und Lage der jeweiligen Flächen im Koordinatensystem spezifische Vorgehensweisen.
Man hat zu unterscheiden zwischen Flächen unter Funktionsgraphen, die im betrachteten Intervall

ausschließlich oberhalb der x-Achse,
ausschließlich unterhalb der x-Achse oder
oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen, sowie
Flächen, die zwischen zwei Funktionsgraphen liegen.

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung wird nach den Begründern der Infinitesimalrechnung häufig auch als Formel nach NEWTON-LEIBNIZ bezeichnet.
Er stellt den Zusammenhang zwischen der Differenzial- und Integralrechnung her und verbindet zwei Sachverhalte miteinander, denen völlig unterschiedliche Probleme zugrunde liegen.

Zu den Anfängen der Integralrechnung

Während die Differenzialrechnung in der Untersuchung des Tangentenproblems wurzelt, war die Beschäftigung mit Inhaltsproblemen Ausgangspunkt für die Entstehung der Integralrechnung.

Dabei erregte das Inhaltsproblem sehr viel früher das Interesse als die Frage danach, ob für einen beliebigen Funktionsgraphen in einem vorgegebenen Punkt die Tangente an den Graphen existiert und wie man ihre Steigung ermitteln kann.

Bereits vor der Phase der griechisch-hellenistischen Mathematik waren einfache Methoden zur Berechnung der Flächeninhalte einzelner Vielecke und der Volumina einfacher Körper bekannt – gekleidet in die Form von „Rezepten“.

Integration durch Partialbruchzerlegung

Lässt sich bei der Integration gebrochenrationaler Funktionen der Funktionsterm nicht durch eine einfache Division in eine Summe umwandeln, so kann die Integration durch Partialbruchzerlegung angewendet werden.

Ist der Integrand eine unecht gebrochenrationale Funktion, so wird diese zunächst durch Partialdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion zerlegt.

Den echt gebrochenrationalen Anteil schreibt man dann mittels Partialbruchzerlegung als eine Summe einfacher Teilbrüche.

Der Lösungsansatz für die Partialbruchzerlegung ist hierbei davon abhängig, ob die Funktion im Nenner einfache oder mehrfache, reelle oder komplexe Nullstellen hat.

Integration durch lineare Substitution

Während beim Differenzieren elementarer Funktionen wieder elementare Funktionen entstehen, gibt es zahlreiche elementare Funktionen, deren unbestimmte Integrale sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen.
Scheinbar geringfügige Veränderungen im Funktionsterm erfordern u.U. völlig andere Lösungswege oder führen zu nicht mehr elementar integrierbaren Funktionen.

Als Beispiele seien die Funktionen $f (x) = x \cdot \sin x u n d g (x) = \frac{x}{\sin x}$ genannt:
Während die Funktion f mit der Methode der partiellen Integration elementar integrierbar ist, kann man das Integral der Funktion g nicht mit elementaren Mitteln berechnen. Ähnlich verhalten sich die Funktionen $f (x) = x \cdot e^{x} u n d g (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .

Bei der Integration von Produkten von Funktionen oder von verketteten Funktionen findet häufig die Substitutionsmethode Anwendung.

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