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Integration durch Partialbruchzerlegung

Lässt sich bei der Integration gebrochenrationaler Funktionen der Funktionsterm nicht durch eine einfache Division in eine Summe umwandeln, so kann die Integration durch Partialbruchzerlegung angewendet werden.

Ist der Integrand eine unecht gebrochenrationale Funktion, so wird diese zunächst durch Partialdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion zerlegt.

Den echt gebrochenrationalen Anteil schreibt man dann mittels Partialbruchzerlegung als eine Summe einfacher Teilbrüche.

Der Lösungsansatz für die Partialbruchzerlegung ist hierbei davon abhängig, ob die Funktion im Nenner einfache oder mehrfache, reelle oder komplexe Nullstellen hat.

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Es soll hier der Fall betrachtet werden, dass die Nennerfunktion einfache oder mehrfache reelle Nullstellen besitzt.

Beispiel 1:

∫ x 3 − 5   x 2 + x + 4 x 2 − 7 x + 10   d x =

Der Integrand ist hier eine unecht gebrochenrationale Funktion. In einem solchen Fall ist die Funktion vor der Partialbruchzerlegung in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion zu zerlegen.

Das geschieht durch Partialdivision:
           ( x 3 − 5   x 2 + x + 4 ) : ( x 2 − 7 x + 10 ) = x + 2 + 5   x − 16 x 2 − 7 x + 10 − ( x 3 − 7 x 2 + 10   x ) ¯                               2   x 2 −         9   x + 4                   − ( 2   x 2 −     14   x + 20 ) ¯                                                               5   x − 16    

Damit folgt für den angegebenen Quotienten:
x 3 − 5   x 2 + x + 4 x 2 − 7 x + 10 = x + 2 + 5   x − 16 x 2 − 7 x + 10    

Auf den echt gebrochenrationalen Anteil der Funktion wird nun folgendes Verfahren angewendet:

Die Nennerfunktion besitzt zwei reelle Nullstellen x 1 = 2 und x 2 = 5 .
Deshalb wählt man den Ansatz:
5   x − 16 x 2 − 7 x + 10 = A x − 2 + B x − 5 = A   ( x − 5 ) + B   ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 5 ) = A   x − 5 A + B   x − 2   B ( x − 2 ) ( x − 5 ) = ( A + B )   x + ( − 5   A − 2   B ) x 2 − 7   x + 10 .
Der Vergleich der Koeffizienten in den Zählern des ersten und des letzten Gliedes obigen Gesamtausdrucks führt zu dem Gleichungssystem
      A +           B = 5 5   A + 2   B = 16 ¯

mit der Lösung A = 2 und B = 3.

Somit erhält man:
∫ x 3 − 5   x 2 + x + 4 x 2 − 7 x + 10   d x = ∫ ( x + 2 )   d x + ∫ 2 x − 2   d x + ∫ 3 x − 5   d x = x 2 2 + 2   x + 2   ln |   x − 2   | + 3   ln |   x − 5   | + C

Beispiel 2:

∫ 7   x 2 − 6   x + 3 x 3 − x 2 − x + 1   d x =  

In diesem Fall hat die Nennerfunktion die einfache reelle Nullstelle x 1 = − 1 und die doppelte reelle Nullstelle x 2 / 3 = 1 .

Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet:
7   x 2 − 6   x + 3 x 3 − x 2 − x + 1 = A ( x − 1 ) 2 + B x − 1 + C x + 1 = A ( x + 1 ) + B ( x 2 − 1 ) + C ( x 2 − 2   x + 1 ) ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) = ( B + C )   x 2 + ( A − 2   C ) x + ( A − B + C ) ( x − 1 ) 2 ( x + 1 )

Koeffizientenvergleich führt zu dem Gleichungssystem
           B       + C = 7 A         − 2     C = − 6 A − B       + C = 3 ¯

mit der Lösung A = 2, B = 3 und C = 4.

Somit erhält man:
       ∫ 7   x 2 − 6   x + 3 x 3 − x 2 − x + 1   d x = ∫   ( 2 ( x − 1 ) 2 + 3 x − 1 + 4 x + 1 )   d x = − 2 x − 1 + 3   ln |   x − 1   | + 4   ln |   x + 1   | + C

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Integration durch Partialbruchzerlegung." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/integration-durch-partialbruchzerlegung (Abgerufen: 08. June 2025, 15:41 UTC)

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