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Partielle Integration

Im Unterschied zur Integration einer Summe von Funktionen, für die es eine einfache Integrationsregel (Summenregel) gibt, gestaltet sich das Integrieren eines Produktes von Funktionen weitaus schwieriger.
In einigen Fälle führt die Integration durch Substitution zum Ziel, doch in vielen Fällen kann man keine geeignete Substitution angeben.
Eine einfache Umkehrung der Differenziationregel für Produkte von Funktionen ist nicht möglich, jedoch bietet diese Regel den Zugang zu einem speziellen Integrationsverfahren, das auf der Produktregel der Differenzialrechnung fußt.
Es gilt die folgende Regel der partiellen Integration.

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Für die Ableitung eines Produktes von Funktionen f ( x ) = u ( x )   ⋅ v ( x ) gilt:
f ' ( x ) = u ( x )     ⋅     v ' ( x ) + u ' ( x )     ⋅ v ( x )

Integriert man auf beiden Seiten, so folgt nach der Summenregel der Integralrechnung
                    ∫ f ' ( x )   d x =     f ( x ) = ∫ u ( x )     ⋅     v ' ( x )   d x + ∫ u ' ( x )     ⋅ v ( x )   d x b z w .                               u ( x )     ⋅ v ( x ) = ∫ u ( x )     ⋅     v ' ( x )   d x + ∫ u ' ( x )     ⋅ v ( x )   d x       

Somit lässt sich der folgende Satz formulieren:

  • Sind u und v im Intervall [ a ;     b ] differenzierbare Funktionen sowie u ' und v ' im Intervall stetig, so gilt
    ∫ u ( x )     ⋅ v ' ( x )   d x = u ( x )     ⋅ v ( x ) − ∫ u ' ( x )     ⋅ v ( x )   d x .

Die auf diesem Satz fußende Integrationsmethode nennt man „partielle Integration“, um anzudeuten, dass ein Restintegral bleibt, d.h., man integriert nur teilweise – nur partiell.
Dieses Restintegral ist entweder ein bekanntes Grundintegral oder es muss weiter evtl. abermals partiell integriert werden.

Beispiel 1:

∫ x     sin   x     d x =

Für diesen Integranden findet sich keine geeignete Substitution. Wendet man die partielle Integration an, muss man entscheiden, welchen der beiden Faktoren im Integranden man für u und welchen man für v´ einsetzt.

Setzt man u ( x ) = x         u n d           v ' ( x ) = sin   x ,     s o         f o lg t         m i t         u ' ( x ) = 1         u n d         v ( x ) = − cos   x nach obiger Formel:
∫ x     sin   x     d x = − x     cos   x − ∫ ( − cos   x )     d x   = − x     cos   x + sin   x + C

Hätte man
u ( x ) = sin   x         u n d           v ' ( x ) = x         g e s e t z t ,     s o     w ü r d e         m i t         u ' ( x ) = cos   x         u n d         v ( x ) = x 2 2         f o lg e n :
∫ x     sin   x     d x = x 2 2 ⋅ sin   x − ∫ x 2 2   cos   x     d x

Das hierbei entstandene Restintegral ist komplizierter als das bei der ersten Ersetzung. Es ist also wichtig, eine geschickte Zuordnung zu den Ausdrücken in der Formel vorzunehmen.

Beispiel 2:

∫ x 2 ⋅ e x   d x =

Hierfür erhält man mit u ( x ) = x 2       u n d       v ' ( x ) = e x , also u ' ( x ) = 2 x       u n d       v ( x ) = e x zunächst ∫ x 2 ⋅ e x   d x = x 2   e x − ∫ 2   x   e x     d x .

Es wird eine weitere partielle Integration notwendig.
Man setzt u ( x ) = 2   x         u n d           v ' ( x ) = e x ,     a l s o         u ' ( x ) = 2           u n d         v ( x ) = e x , womit insgesamt folgt:
∫ x 2 ⋅ e x   d x = x 2   e x − 2   x   e x + 2   e x + C

Beispiel 3:

∫ π 2 3 π 2 x ⋅ cos   x     d x =
Man setzt u ( x ) = x         u n d           v ' ( x ) = cos   x ,     a l s o         u ' ( x ) = 1           u n d         v ( x ) = sin   x .

Damit ergibt sich:
∫ π 2 3 π 2 x ⋅ cos   x     d x = [ x     sin   x + cos   x ]   π 2   3 π 2 = − 2   π

Beispiel 4:

∫ cos 2 x     d x =

Wir wenden das Verfahren der partiellen Integration an.
Mit u ( x ) = cos   x         u n d           v ' ( x ) = cos   x ,     a l s o         u ' ( x ) = − sin   x           u n d         v ( x ) = sin   x ergibt sich: ∫ cos 2 x     d x = cos   x ⋅ sin   x − ∫ ( − sin   x ) ⋅ sin   x     d x = cos   x ⋅ sin   x + ∫ sin 2 x     d x = cos   x ⋅ sin   x + ∫ ( 1 − cos 2 x )   d x = cos   x ⋅ sin   x + x − ∫ cos 2 x     d x

Damit erhält man: 2 ∫ cos 2 x     d x = cos   x ⋅ sin   x + x             b z w .           ∫ cos 2 x     d x = cos   x ⋅ sin   x 2 + x 2

Unter Verwendung dieses Resultats lassen sich nun schrittweise auch die folgenden Integrale berechnen:
∫ cos 3 x     d x = cos 2 x ⋅ sin   x 3 + 2 3 ∫ cos   x     d x = cos 2 x ⋅ sin   x 3 + 2 3     sin   x + C
∫ cos 4 x     d x = cos 3 x ⋅ sin   x 3 + 3 4 ∫ cos 2 x       d x = cos 3 x ⋅ sin   x 4 + 3 8     cos   x ⋅ sin   x + 3 8 x + C

Ausgehend von diesen Spezialfällen lässt sich folgende Rekursionsformel herleiten:
∫ cos n x     d x = cos n − 1 x ⋅ sin   x n + n − 1 n ∫ cos n − 2 x       d x
(mit n ∈ ℕ ,       n > 1         u n d         ∫ c o s 0 x     d x = x + C ,         ∫ cos 1 x     d x = sin     x + C )

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Partielle Integration." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/partielle-integration (Abgerufen: 20. May 2025, 12:35 UTC)

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