Partielle Integration

Für die Ableitung eines Produktes von Funktionen $f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$ gilt:
$f\text{'}\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\text{'}\left(x\right)+u\text{'}\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$

Integriert man auf beiden Seiten, so folgt nach der Summenregel der Integralrechnung
$\begin{array}{c}{\displaystyle \int f\text{'}\left(x\right)dx=}f\left(x\right)={\displaystyle \int u\left(x\right)\cdot v\text{'}\left(x\right)dx}+{\displaystyle \int u\text{'}\left(x\right)\cdot v\left(x\right)dx}\\ bzw.u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)={\displaystyle \int u\left(x\right)\cdot v\text{'}\left(x\right)dx}+{\displaystyle \int u\text{'}\left(x\right)\cdot v\left(x\right)dx } \end{array}$

Somit lässt sich der folgende Satz formulieren:

• Sind u und v im Intervall $\left[a;b\right]$ differenzierbare Funktionen sowie $u\text{'}$ und $v\text{'}$ im Intervall stetig, so gilt
  ${\displaystyle \int u\left(x\right)\cdot v\text{'}\left(x\right)dx}=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-{\displaystyle \int u\text{'}\left(x\right)\cdot v\left(x\right)dx}$.

Die auf diesem Satz fußende Integrationsmethode nennt man „partielle Integration“, um anzudeuten, dass ein Restintegral bleibt, d.h., man integriert nur teilweise – nur partiell.
Dieses Restintegral ist entweder ein bekanntes Grundintegral oder es muss weiter evtl. abermals partiell integriert werden.

Beispiel 1:

${\displaystyle \int x\sin xdx}=$

Für diesen Integranden findet sich keine geeignete Substitution. Wendet man die partielle Integration an, muss man entscheiden, welchen der beiden Faktoren im Integranden man für u und welchen man für v´ einsetzt.

Setzt man $u\left(x\right)=xundv\text{'}\left(x\right)=\sin x,sofo\lg tmitu\text{'}\left(x\right)=1undv\left(x\right)=-\cos x$ nach obiger Formel:
${\displaystyle \int x\sin xdx=-x\cos x-{\displaystyle \int \left(-\cos x\right)dx}}=-x\cos x+\sin x+C$

Hätte man
$\begin{array}{l}u\left(x\right)=\sin xundv\text{'}\left(x\right)=xgesetzt,\\ sowürdemitu\text{'}\left(x\right)=\cos xundv\left(x\right)=\frac{x^2}{2}fo\lg en:\end{array}$
${\displaystyle \int x\sin xdx}=\frac{x^2}{2}\cdot \sin x-{\displaystyle \int \frac{x^2}{2}\cos xdx}$

Das hierbei entstandene Restintegral ist komplizierter als das bei der ersten Ersetzung. Es ist also wichtig, eine geschickte Zuordnung zu den Ausdrücken in der Formel vorzunehmen.

Beispiel 2:

${\displaystyle \int x^2\cdot e^{x}dx=}$

Hierfür erhält man mit $u\left(x\right)=x^{2}undv\text{'}\left(x\right)=e^x,$ also $u\text{'}\left(x\right)=2xundv\left(x\right)=e^x$ zunächst ${\displaystyle \int x^2\cdot e^{x}dx}=x^2{e}^x-{\displaystyle \int 2x{e}^{x}dx.}$

Es wird eine weitere partielle Integration notwendig.
Man setzt $u\left(x\right)=2xundv\text{'}\left(x\right)=e^x,alsou\text{'}\left(x\right)=2undv\left(x\right)=e^x$, womit insgesamt folgt:
${\displaystyle \int x^2\cdot e^{x}dx}=x^2{e}^x-2x{e}^x+2e^x+C$

Beispiel 3:

${\displaystyle \underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{3\pi }{2}}{\int }}x\cdot \cos xdx=}$
Man setzt $u\left(x\right)=xundv\text{'}\left(x\right)=\cos x,alsou\text{'}\left(x\right)=1undv\left(x\right)=\sin x.$

Damit ergibt sich:
${\displaystyle \underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{3\pi }{2}}{\int }}x\cdot \cos xdx}={\left[x\sin x+\cos x\right]}_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}=-2\pi$

Beispiel 4:

${\displaystyle \int {\cos }^{2}xdx=}$

Wir wenden das Verfahren der partiellen Integration an.
Mit $u\left(x\right)=\cos xundv\text{'}\left(x\right)=\cos x,alsou\text{'}\left(x\right)=-\sin xundv\left(x\right)=\sin x$ ergibt sich: $\begin{array}{c}{\displaystyle \int {\cos }^{2}xdx}=\cos x\cdot \sin x-{\displaystyle \int \left(-\sin x\right)}\cdot \sin xdx=\cos x\cdot \sin x+{\displaystyle \int {\sin }^{2}xdx}\\ =\cos x\cdot \sin x+{\displaystyle \int \left(1-{\cos }^{2}x\right)}dx=\cos x\cdot \sin x+x-{\displaystyle \int {\cos }^{2}xdx}\end{array}$

Damit erhält man: $2{\displaystyle \int {\cos }^{2}xdx}=\cos x\cdot \sin x+xbzw.{\displaystyle \int {\cos }^{2}xdx}=\frac{\cos x\cdot \sin x}{2}+\frac{x}{2}$

Unter Verwendung dieses Resultats lassen sich nun schrittweise auch die folgenden Integrale berechnen:
${\displaystyle \int {\cos }^{3}xdx}=\frac{{\cos }^{2}x\cdot \sin x}{3}+\frac{2}{3}{\displaystyle \int \cos xdx=}\frac{{\cos }^{2}x\cdot \sin x}{3}+\frac{2}{3}\sin x+C$
${\displaystyle \int {\cos }^{4}xdx}=\frac{{\cos }^{3}x\cdot \sin x}{3}+\frac{3}{4}{\displaystyle \int {\cos }^{2}xdx=}\frac{{\cos }^{3}x\cdot \sin x}{4}+\frac{3}{8}\cos x\cdot \sin x+\frac{3}{8}x+C$

Ausgehend von diesen Spezialfällen lässt sich folgende Rekursionsformel herleiten:
${\displaystyle \int {\cos }^{n}xdx}=\frac{{\cos }^{n-1}x\cdot \sin x}{n}+\frac{n-1}{n}{\displaystyle \int {\cos }^{n-2}xdx}$
(mit $n\in \mathbb{N},n>1und{\displaystyle \int co{s}^{0}xdx=x+C,{\displaystyle \int {\cos }^{1}xdx=\sin x+C}}$)