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  6. Integrationsregeln

Integrationsregeln

Für das Aufsuchen von Stammfunktionen (Ermitteln unbestimmter Integrale) helfen die Kenntnisse aus der Differenzialrechnung (Bilden von Ableitungsfunktionen). Diese reichen aber oftmals nicht aus – es bedarf der Verwendung spezieller Integrationsregeln.

Von grundlegender Bedeutung sind die Potenzregel, die Faktor- und die Summenregel. Für das Ermitteln komplizierterer unbestimmter Integrale stehen weitere Integrationsverfahren wie z.B. die Integration durch lineare und nichtlineare Substitution, das Verfahren der partiellen Integration oder der Integration durch Partialbruchzerlegung zur Verfügung.

Formelsammlungen enthalten überdies oftmals Tafeln mit Integralen schwierig zu berechnender Funktionen. Eine große Hilfe bieten schließlich moderne Rechengeräte mit Computeralgebrasystemen (CAS).

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Potenzregel

∫   x n   d x = 1 n + 1   x n + 1 + C             ( m i t         n ∈ ℤ ,       n ≠ − 1         s o w i e           z u s ä t z l i c h       x ≠ 0,     f a l l s       n < − 1 ) ,     C ∈ ℝ

Der Fall n = -1 muss gesondert untersucht werden, da wir keine Potenzfunktion kennen, deren Ableitung 1 x = x − 1 ist. Außerdem wäre der Term für n = -1 nicht erklärt. Diese Regel kann auch auf Potenzen mit reellen Exponenten erweitert werden.

Erweiterte Potenzregel

Für die Potenzfunktion f ( x ) = x q         m i t         q ∈ ℝ ,       q ≠ − 1       u n d       x > 0       g i l t :
∫   x q   d x = 1 q + 1   x q + 1 + C                   ( C ∈ ℝ )

Faktorregel

∫ k ⋅ f ( x )   d x = k ⋅ ∫ f ( x )   d x             ( k ∈ ℝ )
Konstante Faktoren bleiben beim Integrieren erhalten.

Beweis:
Die Faktorregel ist einen Äquivalenzaussage.
Der Beweis muss deshalb „in beiden Richtungen“ geführt werden.
F sei eine Stammfunktion von f, d.h., es ist F' = f bzw. ∫ f ( x )   d x = F ( x ) + C .

a) Für k ∈ ℝ       g i l t       ∫ k ⋅ f ( x )   d x = k ⋅ F ( x ) + C , denn nach den entsprechenden Regeln der Differenzialrechnung ist [ k ⋅ F ( x ) + C ]   ' = k ⋅ F ' ( x ) = k ⋅ f ( x ) .

Da F eine Stammfunktion von f ist, also abgesehen von einer additiven Konstanten k ⋅ F ( x ) = ∫ k ⋅ f ( x )   d x gilt, folgt ∫ k ⋅ f ( x )   d x = k ⋅ ∫ f ( x )   d x .

b) Für k ∈ ℝ         g i l t         k ⋅ ∫ f ( x )   d x = k ⋅ [ F ( x ) + C ] = k ⋅ F ( x ) + k ⋅ C .

Wegen C ∈ ℝ         u n d       k ∈ ℝ         i s t         a u c h       k ⋅ C = C * ∈ ℝ und k ⋅ F ( x ) + C * = ∫   k ⋅ f ( x )   d x , denn [ k ⋅ F ( x ) + C * ] ' = k ⋅ F ' ( x ) = k ⋅ f ( x ) .
w.z.b.w.

Summenregel

∫ [   f ( x )     ±     g ( x ) ]   d x = ∫ f ( x )   d x     ±     ∫ g ( x )   d x
Summen und Differenzen können gliedweise integriert werden.

Der Beweis kann unter Verwendung der Summenregel der Differentialrechnung geführt werden.

Faktor- und Summenregel lassen sich auch zu einer Regel zusammenfassen:

∫   [ k 1 ⋅ f 1 ( x ) + k 2 ⋅ f 2 ( x ) +     ...     k n ⋅ f n ( x ) ]   d x = k 1   ∫ f 1 ( x )   d x + k 2   ∫ f 2 ( x )   d x +     ...     + k n   ∫ f n ( x )   d x

Für das Ermitteln komplizierterer unbestimmter Integrale stehen weitere Integrationsverfahren wie z.B. die Integration durch lineare und nichtlineare Substitution, das Verfahren der partiellen Integration oder der Integration durch Partialbruchzerlegung zur Verfügung.

Formelsammlungen enthalten überdies oftmals Tafeln mit den Integralen schwierig zu berechnender Funktionen.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Integrationsregeln." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/integrationsregeln (Abgerufen: 19. May 2025, 17:12 UTC)

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Integration durch lineare Substitution

Während beim Differenzieren elementarer Funktionen wieder elementare Funktionen entstehen, gibt es zahlreiche elementare Funktionen, deren unbestimmte Integrale sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen.
Scheinbar geringfügige Veränderungen im Funktionsterm erfordern u.U. völlig andere Lösungswege oder führen zu nicht mehr elementar integrierbaren Funktionen.

Als Beispiele seien die Funktionen f ( x ) = x   ⋅   sin   x         u n d         g ( x ) = x sin   x genannt:
Während die Funktion f mit der Methode der partiellen Integration elementar integrierbar ist, kann man das Integral der Funktion g nicht mit elementaren Mitteln berechnen. Ähnlich verhalten sich die Funktionen f ( x ) = x   ⋅   e x         u n d         g ( x ) = e x x .

Bei der Integration von Produkten von Funktionen oder von verketteten Funktionen findet häufig die Substitutionsmethode Anwendung.

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