Regeln für das Berechnen bestimmter Integrale

In der folgenden Tabelle sind diese Regeln übersichtlich zusammengestellt.

a a f ( x ) d x = 0 Übereinstimmung der Integrationsgrenzen
a b f ( x ) d x = b a f ( x ) d x Vertauschen der Integrationsgrenzen
a c f ( x ) d x + c b f ( x ) d x = a b f ( x ) d x Intervalladditivität
a b k f ( x ) d x = k a b f ( x ) d x Faktorregel
a b [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = a b f ( x ) d x ± a b g ( x ) d x Summenregel

Beweis der Summenregel:

Für die unbestimmten Integrale der Funktionen f und g gilt:
[ f ( x ) + g ( x ) ] d x = f ( x ) d x + g ( x ) d x = F ( x ) + G ( x )

Daraus folgt:
a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = [ F ( b ) + G ( b ) ] [ F ( a ) + G ( a ) ] = [ F ( b ) F ( a ) ] + [ G ( b ) G ( a ) ] = a b f ( x ) d x + a b g ( x ) d x

Beispiel für die Anwendung der Integrationsregeln:
1 4 2 sin 2 x d x 2 4 1 cos 2 x d x = 2 1 4 sin 2 x d x 2 4 1 cos 2 x d x = 2 1 4 sin 2 x d x 2 4 1 ( 1 sin 2 x ) d x = 2 1 4 sin 2 x d x + 2 1 4 ( 1 sin 2 x ) d x = 2 1 4 ( sin 2 x + 1 sin 2 x ) d x = 2 1 4 d x = [ 2 x ] 1 4 = 6

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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