Regeln für das Berechnen bestimmter Integrale

In der folgenden Tabelle sind diese Regeln übersichtlich zusammengestellt.

Beweis der Summenregel:

Für die unbestimmten Integrale der Funktionen f und g gilt:
${\displaystyle \int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx={\displaystyle \int f\left(x\right)dx+{\displaystyle \int g\left(x\right)}}}dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)$

Daraus folgt:
$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx}=\left[F\left(b\right)+G\left(b\right)\right]-\left[F\left(a\right)+G\left(a\right)\right]\\ =\left[F\left(b\right)-F\left(a\right)\right]+\left[G\left(b\right)-G\left(a\right)\right]\\ ={\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)}dx+{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx}\end{array}$

Beispiel für die Anwendung der Integrationsregeln:
$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{1}{\overset{4}{\int }}2{\sin }^{2}xdx}-2{\displaystyle \underset{4}{\overset{1}{\int }}{\cos }^{2}xdx}=2{\displaystyle \underset{1}{\overset{4}{\int }}{\sin }^{2}xdx}-2{\displaystyle \underset{4}{\overset{1}{\int }}{\cos }^{2}xdx}\\ =2{\displaystyle \underset{1}{\overset{4}{\int }}{\sin }^{2}xdx}-2{\displaystyle \underset{4}{\overset{1}{\int }}\left(1-{\sin }^{2}x\right)dx}\\ =2{\displaystyle \underset{1}{\overset{4}{\int }}{\sin }^{2}xdx}+2{\displaystyle \underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(1-{\sin }^{2}x\right)dx}\\ =2{\displaystyle \underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\sin }^{2}x+1-{\sin }^{2}x\right)dx}=2{\displaystyle \underset{1}{\overset{4}{\int }}dx}\\ ={\left[2x\right]}_1^4=6\end{array}$