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Regeln für das Berechnen bestimmter Integrale

Für das Berechnen bestimmter Integrale von im Intervall [a; b] stetigen Funktionen f und g können folgende Regeln Anwendung finden:

  • Regel zur Übereinstimmung bzw. Vertauschung von Integrationsgrenzen;
  • Regel der Intervalladditivität;
  • Faktorregel;
  • Summenregel

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In der folgenden Tabelle sind diese Regeln übersichtlich zusammengestellt.

∫ a a f ( x )   d x = 0 Übereinstimmung der Integrationsgrenzen
∫ a b f ( x )   d x = − ∫ b a f ( x )   d x Vertauschen der Integrationsgrenzen
∫ a c f ( x )   d x +     ∫ c b f ( x )   d x = ∫ a b f ( x )   d x Intervalladditivität
∫ a b   k ⋅ f ( x )   d x = k ⋅ ∫ a b f ( x )   d x Faktorregel
∫ a b   [ f ( x )     ±     g ( x ) ]   d x = ∫ a b f ( x )   d x     ±     ∫ a b g ( x )   d x Summenregel

Beweis der Summenregel:

Für die unbestimmten Integrale der Funktionen f und g gilt:
∫ [ f ( x )     +     g ( x ) ]   d x = ∫ f ( x )   d x + ∫ g ( x )   d x = F ( x ) + G ( x )

Daraus folgt:
∫ a b [ f ( x )     +     g ( x ) ]   d x = [ F ( b ) + G ( b ) ] − [ F ( a ) + G ( a ) ] = [ F ( b ) − F ( a ) ] + [ G ( b ) − G ( a ) ] = ∫ a b f ( x )   d x + ∫ a b g ( x )   d x

Beispiel für die Anwendung der Integrationsregeln:
∫ 1 4   2 sin 2 x     d x − 2 ∫ 4 1 cos 2 x     d x = 2 ∫ 1 4 sin 2 x     d x − 2 ∫ 4 1 cos 2 x     d x = 2 ∫ 1 4 sin 2 x     d x − 2 ∫ 4 1 ( 1 − sin 2 x   )     d x = 2 ∫ 1 4 sin 2 x     d x + 2 ∫ 1 4   ( 1 − sin 2 x   )     d x = 2 ∫ 1 4   ( sin 2 x + 1 − sin 2 x   )     d x = 2 ∫ 1 4 d x = [ 2   x ]   1   4 = 6

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Regeln für das Berechnen bestimmter Integrale." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/regeln-fuer-das-berechnen-bestimmter-integrale (Abgerufen: 19. May 2025, 15:05 UTC)

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  • Faktorregel
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  • unbestimmtes Integral
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