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Stammfunktionen

Eine Grundaufgabe der Differenzialrechnung besteht im Ermitteln der Ableitungsfunktion f‘ zu einer gegebenen Funktion f.
Wird diese Aufgabenstellung umgekehrt, d.h., sucht man zu einer gegebenen Funktion f eine Funktion F, deren Ableitungsfunktion F‘ gleich f ist, so kommt man zur Grundaufgabe der Integralrechnung und zum Begriff der Stammfunktion.     

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  • Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f, wenn die Funktionen f und F einen gemeinsamen Definitionsbereich D f ( = D F ) besitzen und für alle x ∈ D f gilt:
    F ' ( x ) = f ( x )   

Für die weiteren Überlegungen ist die folgende Aussage bedeutsam:

  • f ist eine konstante Funktion genau dann, wenn für jedes x gilt: f ' ( x ) = 0

Beweis:
Die Aussage besteht aus zwei Teilaussagen:
a) Wenn f eine konstante Funktion ist, so gilt f ' ( x ) = 0 für jedes x.
b) Wenn f ' ( x ) = 0 für jedes x gilt, so ist f eine konstante Funktion.

Die Gültigkeit von a) ergibt sich unmittelbar aus der Konstantenregel der Differenzialrechnung. Es muss deshalb nur noch Teilaussage b) bewiesen werden:

Voraussetzung: Für jedes x gelte f ' ( x ) = 0 .
Behauptung: f ist eine konstante Funktion.

Es wird gezeigt, dass unter der angegebenen Voraussetzung die Funktionswerte von f an beliebigen Stellen a und b übereinstimmen, d.h., dass stets f ( a ) = f ( b ) gilt, wie man a und b auch wählt.

Wir wenden für den Nachweis den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung an. Ist f eine im Intervall ]   a   ;   b   [ differenzierbare Funktion, dann existiert mindestens eine Stelle c zwischen a und b, so dass gilt:
f ( b ) − f ( a ) b − a = f ' ( c )             ( c ∈ ]   a   ;     b   [ )

Durch Multiplikation mit (b - a) erhält man hieraus f ( b ) − f ( a ) = f ' ( c ) ( b − a ) .
Da nach Voraussetzung f ' an jeder Stelle den Wert Null hat, ist auch f ' ( c ) = 0 .
Damit gilt f (   b ) − f ( a ) = 0 , woraus f ( a ) = f ( b ) folgt.

Da aber a und b beliebig gewählt wurden, stimmen die Funktionswerte an allen Stellen überein, d.h., f ist eine konstante Funktion.
w.z.b.w.

Wenn es zu einer Funktion f eine Stammfunktion F gibt, so existieren unendlich viele weitere Stammfunktionen, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden.

Stammfunktionen einer Funktion

  • Es sei F 1 eine Stammfunktion von f in D. F 2 ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn es eine Zahl C ( C ∈ ℝ ) gibt, so dass F 2 ( x ) = F 1 ( x ) + C für alle x ∈ D gilt.

Beweis:
Weil es sich bei dem vorliegenden Satz um eine Äquivalenzaussage handelt, müssen wir den Beweis „in beiden Richtungen“ führen.

a) Es sei F 2 ( x ) = F 1 ( x ) + C (für alle x ∈ D ).
Dann ist F 2 differenzierbar und es gilt F 2 ' ( x ) = F 1 ' ( x ) .
Da nach Voraussetzung F 1 ' ( x ) = f ( x ) , folgt F 2 ' ( x ) = f ( x ) , d.h., F 2 ist ebenfalls eine Stammfunktion von f.

b) Es sei F 2 Stammfunktion von f. Dann gilt F 2 ' ( x ) = f ( x ) .
Da nach Voraussetzung auch F 1 ' ( x ) = f ( x ) ist, folgt F 2 ' ( x ) = F 1 ' ( x ) bzw. F 2 ' ( x ) − F 1 ' ( x ) = 0 .
Das heißt, die Differenzenfunktion F 2 ( x ) − F 1 ( x ) hat die Ableitung 0 und muss daher eine konstante Funktion sein: F 2 ( x )     −     F 1 ( x ) = C bzw. F 2 ( x ) = F 1 ( x ) + C
w. z. b. w.

Für die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion f wird ein neuer Begriff eingeführt.

  • Definition: Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral von f. Man schreibt:
    ∫ f ( x )   d x = { F ( x )     |     F ' ( x ) = f ( x ) }

Will man die Mengenschreibweise vermeiden, kann man auch nur mit einem Repräsentanten arbeiten:
∫ f ( x )   d x = F ( x ) + C                                               (   F ' ( x ) = f ( x )   ,     C ∈ ℝ )
Dabei bezeichnet man
f(x) als Integrandenfunktion – kurz: Integrand,
x als Integrationsvariable,
C als Integrationskonstante,
dx als Differenzial des unbestimmten Integrals
∫ f ( x )   d x
(gelesen: Integral über f von x dx).

Beim Ermitteln unbestimmter Integrale darf die Integrationskonstanten nicht einfach weggelassen werden, da dies zu Trugschlüssen führen kann.

Beispiel

Schreibt man
∫ sin   x     ⋅ cos   x     d x = 1 2   sin 2 x                                     ( d a         d     sin 2 x d x = 2   sin   x     ⋅ cos   x ) b z w . ∫ sin   x     ⋅ cos   x     d x = − 1 2   cos 2 x                             ( d a         d     cos 2 x d x = −   2   sin   x     ⋅ cos   x )
so ergäbe sich die falsche Aussage   sin 2 x = −   cos 2 x                   b z w .                   sin 2 x     +     cos 2 x = 0 .

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Stammfunktionen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/stammfunktionen (Abgerufen: 30. June 2025, 12:00 UTC)

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  • Integrationsvariable
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