Stammfunktionen

  • Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f, wenn die Funktionen f und F einen gemeinsamen Definitionsbereich Df(=DF) besitzen und für alle xDf gilt:
    F'(x)=f(x)   

Für die weiteren Überlegungen ist die folgende Aussage bedeutsam:

  • f ist eine konstante Funktion genau dann, wenn für jedes x gilt: f'(x)=0

Beweis:
Die Aussage besteht aus zwei Teilaussagen:
a) Wenn f eine konstante Funktion ist, so gilt f'(x)=0 für jedes x.
b) Wenn f'(x)=0 für jedes x gilt, so ist f eine konstante Funktion.

Die Gültigkeit von a) ergibt sich unmittelbar aus der Konstantenregel der Differenzialrechnung. Es muss deshalb nur noch Teilaussage b) bewiesen werden:

Voraussetzung: Für jedes x gelte f'(x)=0.
Behauptung: f ist eine konstante Funktion.

Es wird gezeigt, dass unter der angegebenen Voraussetzung die Funktionswerte von f an beliebigen Stellen a und b übereinstimmen, d.h., dass stets f(a)=f(b) gilt, wie man a und b auch wählt.

Wir wenden für den Nachweis den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung an. Ist f eine im Intervall ]a;b[ differenzierbare Funktion, dann existiert mindestens eine Stelle c zwischen a und b, so dass gilt:
f(b)f(a)ba=f'(c)(c]a;b[)

Durch Multiplikation mit (b - a) erhält man hieraus f(b)f(a)=f'(c)(ba).
Da nach Voraussetzung f ' an jeder Stelle den Wert Null hat, ist auch f'(c)=0.
Damit gilt f(b)f(a)=0, woraus f(a)=f(b) folgt.

Da aber a und b beliebig gewählt wurden, stimmen die Funktionswerte an allen Stellen überein, d.h., f ist eine konstante Funktion.
w.z.b.w.

Wenn es zu einer Funktion f eine Stammfunktion F gibt, so existieren unendlich viele weitere Stammfunktionen, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden.

Stammfunktionen einer Funktion

  • Es sei F1 eine Stammfunktion von f in D. F2 ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn es eine Zahl C (C) gibt, so dass F2(x)=F1(x)+C für alle xD gilt.

Beweis:
Weil es sich bei dem vorliegenden Satz um eine Äquivalenzaussage handelt, müssen wir den Beweis „in beiden Richtungen“ führen.

a) Es sei F2(x)=F1(x)+C (für alle xD).
Dann ist F2 differenzierbar und es gilt F2'(x)=F1'(x).
Da nach Voraussetzung F1'(x)=f(x), folgt F2'(x)=f(x), d.h., F2 ist ebenfalls eine Stammfunktion von f.

b) Es sei F2 Stammfunktion von f. Dann gilt F2'(x)=f(x).
Da nach Voraussetzung auch F1'(x)=f(x) ist, folgt F2'(x)=F1'(x) bzw. F2'(x)F1'(x)=0.
Das heißt, die Differenzenfunktion F2(x)F1(x) hat die Ableitung 0 und muss daher eine konstante Funktion sein: F2(x)F1(x)=C bzw. F2(x)=F1(x)+C
w. z. b. w.

Für die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion f wird ein neuer Begriff eingeführt.

  • Definition: Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral von f. Man schreibt:
    f(x)dx={F(x)|F'(x)=f(x)}

Will man die Mengenschreibweise vermeiden, kann man auch nur mit einem Repräsentanten arbeiten:
f(x)dx=F(x)+C(F'(x)=f(x),C)
Dabei bezeichnet man
f(x) als Integrandenfunktion – kurz: Integrand,
x als Integrationsvariable,
C als Integrationskonstante,
dx als Differenzial des unbestimmten Integrals
f(x)dx
(gelesen: Integral über f von x dx).

Beim Ermitteln unbestimmter Integrale darf die Integrationskonstanten nicht einfach weggelassen werden, da dies zu Trugschlüssen führen kann.

Beispiel

Schreibt man
sinxcosxdx=12sin2x(dadsin2xdx=2sinxcosx)bzw.sinxcosxdx=12cos2x(dadcos2xdx=2sinxcosx)
so ergäbe sich die falsche Aussage sin2x=cos2xbzw.sin2x+cos2x=0.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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