Stammfunktionen

  • Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f, wenn die Funktionen f und F einen gemeinsamen Definitionsbereich D f ( = D F ) besitzen und für alle x D f gilt:
    F ' ( x ) = f ( x )   

Für die weiteren Überlegungen ist die folgende Aussage bedeutsam:

  • f ist eine konstante Funktion genau dann, wenn für jedes x gilt: f ' ( x ) = 0

Beweis:
Die Aussage besteht aus zwei Teilaussagen:
a) Wenn f eine konstante Funktion ist, so gilt f ' ( x ) = 0 für jedes x.
b) Wenn f ' ( x ) = 0 für jedes x gilt, so ist f eine konstante Funktion.

Die Gültigkeit von a) ergibt sich unmittelbar aus der Konstantenregel der Differenzialrechnung. Es muss deshalb nur noch Teilaussage b) bewiesen werden:

Voraussetzung: Für jedes x gelte f ' ( x ) = 0 .
Behauptung: f ist eine konstante Funktion.

Es wird gezeigt, dass unter der angegebenen Voraussetzung die Funktionswerte von f an beliebigen Stellen a und b übereinstimmen, d.h., dass stets f ( a ) = f ( b ) gilt, wie man a und b auch wählt.

Wir wenden für den Nachweis den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung an. Ist f eine im Intervall ] a ; b [ differenzierbare Funktion, dann existiert mindestens eine Stelle c zwischen a und b, so dass gilt:
f ( b ) f ( a ) b a = f ' ( c ) ( c ] a ; b [ )

Durch Multiplikation mit (b - a) erhält man hieraus f ( b ) f ( a ) = f ' ( c ) ( b a ) .
Da nach Voraussetzung f ' an jeder Stelle den Wert Null hat, ist auch f ' ( c ) = 0 .
Damit gilt f ( b ) f ( a ) = 0 , woraus f ( a ) = f ( b ) folgt.

Da aber a und b beliebig gewählt wurden, stimmen die Funktionswerte an allen Stellen überein, d.h., f ist eine konstante Funktion.
w.z.b.w.

Wenn es zu einer Funktion f eine Stammfunktion F gibt, so existieren unendlich viele weitere Stammfunktionen, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden.

Stammfunktionen einer Funktion

  • Es sei F 1 eine Stammfunktion von f in D. F 2 ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn es eine Zahl C ( C ) gibt, so dass F 2 ( x ) = F 1 ( x ) + C für alle x D gilt.

Beweis:
Weil es sich bei dem vorliegenden Satz um eine Äquivalenzaussage handelt, müssen wir den Beweis „in beiden Richtungen“ führen.

a) Es sei F 2 ( x ) = F 1 ( x ) + C (für alle x D ).
Dann ist F 2 differenzierbar und es gilt F 2 ' ( x ) = F 1 ' ( x ) .
Da nach Voraussetzung F 1 ' ( x ) = f ( x ) , folgt F 2 ' ( x ) = f ( x ) , d.h., F 2 ist ebenfalls eine Stammfunktion von f.

b) Es sei F 2 Stammfunktion von f. Dann gilt F 2 ' ( x ) = f ( x ) .
Da nach Voraussetzung auch F 1 ' ( x ) = f ( x ) ist, folgt F 2 ' ( x ) = F 1 ' ( x ) bzw. F 2 ' ( x ) F 1 ' ( x ) = 0 .
Das heißt, die Differenzenfunktion F 2 ( x ) F 1 ( x ) hat die Ableitung 0 und muss daher eine konstante Funktion sein: F 2 ( x ) F 1 ( x ) = C bzw. F 2 ( x ) = F 1 ( x ) + C
w. z. b. w.

Für die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion f wird ein neuer Begriff eingeführt.

  • Definition: Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral von f. Man schreibt:
    f ( x ) d x = { F ( x ) | F ' ( x ) = f ( x ) }

Will man die Mengenschreibweise vermeiden, kann man auch nur mit einem Repräsentanten arbeiten:
f ( x ) d x = F ( x ) + C ( F ' ( x ) = f ( x ) , C )
Dabei bezeichnet man
f(x) als Integrandenfunktion – kurz: Integrand,
x als Integrationsvariable,
C als Integrationskonstante,
dx als Differenzial des unbestimmten Integrals
f ( x ) d x
(gelesen: Integral über f von x dx).

Beim Ermitteln unbestimmter Integrale darf die Integrationskonstanten nicht einfach weggelassen werden, da dies zu Trugschlüssen führen kann.

Beispiel

Schreibt man
sin x cos x d x = 1 2 sin 2 x ( d a d sin 2 x d x = 2 sin x cos x ) b z w . sin x cos x d x = 1 2 cos 2 x ( d a d cos 2 x d x = 2 sin x cos x )
so ergäbe sich die falsche Aussage sin 2 x = cos 2 x b z w . sin 2 x + cos 2 x = 0 .

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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