Bestimmtes Integral als Funktion der oberen Grenze

Lässt man überdies bei der Berechnung von
abf(x)dx
die untere Grenze a fest und verändert allein die obere Grenze b, so erhält man für jede Zahl b (b > a) eine eindeutig bestimmte Zahl.

Es entsteht eine Menge geordneter Paare
(b;abf(x)dx),
die eine Funktion Φ(b) ist.

Mit anderen Worten: Das bestimmte Integral
abf(x)dx
ist bei fester unterer Grenze a eine Funktion der oberen Integrationsgrenze.

Da es üblich ist, das Argument einer Funktion mit x (statt hier mit b) zu bezeichnen, wählen wir für die Integrationsvariable eine andere Bezeichnung, z.B. t (statt x), und erhalten
Φ(x)=axf(t)dt.

  • Definition: Gegeben sei eine Funktion f. Die Funktion Φ, die jedem x den Wert des Integrals
    axf(t)dt
    zuordnet, heißt Integralfunktion von f mit der unteren Grenze a. Der Definitionsbereich der Integralfunktion ist die Menge aller x, für die das Integral
    axf(t)dt
    existiert. Man beachte den Unterschied zwischen den Begriffen Integralfunktion und Integrandenfunktion:
    Φ(x)=axf(t)dt
    ist die Integralfunktion, f(t) die Integrandenfunktion (der Integrand).

Bildet man die Ableitung der Integralfunktion, so erhält man den Integranden. Die Integralfunktion Φ ist also eine Stammfunktion des Integranden f.

  • Satz: Für eine im Intervall [a; b] stetige Funktion f ist die Funktion Φ mit
    Φ(x)=axf(t)dt
    eine Stammfunktion von f im Intervall [a; b].

Da die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion f das unbestimmte Integral dieser Funktion ist, stellt dieser Satz einen Zusammenhang ziwschen bestimmtem und unbestimmtem Integral her.

Beweis des Satzes:
Es seien f eine beliebige, im Intervall [a; b] stetige Funktion und Φ die Funktion mit
Φ(x)=axf(t)dt.

1. Schritt: Wenn man zeigen will, dass Φ eine Stammfunktion von f ist, so muss man nachweisen, dass Φ'(x)=f(x) für alle x[a;b] gilt.

Es wird zu diesem Zweck zunächst der Differenzenquotient von Φ gebildet:
Fürh0und(x+h)[a;b]istΦ(x+h)Φ(x)h=ax+hf(t)dtaxf(t)dth.

Nun gilt
axf(t)dt+xx+hf(t)dt=ax+hf(t)dt,alsoax+hf(t)dtaxf(t)dt=xx+hf(t)dt.

Deshalb folgt für den obigen Differenzenquotienten:
Φ(x+h)Φ(x)h=1hxx+hf(t)dt

2. Schritt: Wir schätzen den Differenzenquotienten nach oben ab
(Fall h > 0):

Da f eine stetige Funktion ist, existieren im Intervall [x;x+h] ein kleinster Funktionswert f(x¯) und ein größter Funktionswert f(x¯). Nach der Definition des bestimmten Integrals gilt dann
f(x¯)hxx+hf(t)dtf(x¯)h,alsof(x¯)1hxx+hf(t)dtf(x¯).

3. Schritt: Wir berechnen den Grenzwert des Differenzenquotienten für h0:

Aus obiger Ungleichung folgt:
limh0f(x¯)limh01hxx+hf(t)dtlimh0f(x¯) (*)

Da f stetig ist, gilt limh0f(x¯)=limh0f(x¯)=f(x).

Somit ergibt sich aus der Ungleichung (*):
limh0Φ(x+h)Φ(x)h=limh01hxx+hf(t)dt=f(x)

Zum gleichen Ergebnis gelangt man für den Fall h < 0.
Damit ist gezeigt:
Φ'(x)=f(x)
w. z. b. w.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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