Bestimmtes Integral als Funktion der oberen Grenze

Lässt man überdies bei der Berechnung von
a b f ( x ) d x
die untere Grenze a fest und verändert allein die obere Grenze b, so erhält man für jede Zahl b (b > a) eine eindeutig bestimmte Zahl.

Es entsteht eine Menge geordneter Paare
( b ; a b f ( x ) d x ) ,
die eine Funktion Φ ( b ) ist.

Mit anderen Worten: Das bestimmte Integral
a b f ( x ) d x
ist bei fester unterer Grenze a eine Funktion der oberen Integrationsgrenze.

Da es üblich ist, das Argument einer Funktion mit x (statt hier mit b) zu bezeichnen, wählen wir für die Integrationsvariable eine andere Bezeichnung, z.B. t (statt x), und erhalten
Φ ( x ) = a x f ( t ) d t .

  • Definition: Gegeben sei eine Funktion f. Die Funktion Φ , die jedem x den Wert des Integrals
    a x f ( t ) d t
    zuordnet, heißt Integralfunktion von f mit der unteren Grenze a. Der Definitionsbereich der Integralfunktion ist die Menge aller x, für die das Integral
    a x f ( t ) d t
    existiert. Man beachte den Unterschied zwischen den Begriffen Integralfunktion und Integrandenfunktion:
    Φ ( x ) = a x f ( t ) d t
    ist die Integralfunktion, f(t) die Integrandenfunktion (der Integrand).

Bildet man die Ableitung der Integralfunktion, so erhält man den Integranden. Die Integralfunktion Φ ist also eine Stammfunktion des Integranden f.

  • Satz: Für eine im Intervall [a; b] stetige Funktion f ist die Funktion Φ mit
    Φ ( x ) = a x f ( t ) d t
    eine Stammfunktion von f im Intervall [a; b].

Da die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion f das unbestimmte Integral dieser Funktion ist, stellt dieser Satz einen Zusammenhang ziwschen bestimmtem und unbestimmtem Integral her.

Beweis des Satzes:
Es seien f eine beliebige, im Intervall [a; b] stetige Funktion und Φ die Funktion mit
Φ ( x ) = a x f ( t ) d t .

1. Schritt: Wenn man zeigen will, dass Φ eine Stammfunktion von f ist, so muss man nachweisen, dass Φ ' ( x ) = f ( x ) für alle x [ a ; b ] gilt.

Es wird zu diesem Zweck zunächst der Differenzenquotient von Φ gebildet:
F ü r h 0 u n d ( x + h ) [ a ; b ] i s t Φ ( x + h ) Φ ( x ) h = a x + h f ( t ) d t a x f ( t ) d t h .

Nun gilt
a x f ( t ) d t + x x + h f ( t ) d t = a x + h f ( t ) d t , a l s o a x + h f ( t ) d t a x f ( t ) d t = x x + h f ( t ) d t .

Deshalb folgt für den obigen Differenzenquotienten:
Φ ( x + h ) Φ ( x ) h = 1 h x x + h f ( t ) d t

2. Schritt: Wir schätzen den Differenzenquotienten nach oben ab
(Fall h > 0):

Da f eine stetige Funktion ist, existieren im Intervall [ x ; x + h ] ein kleinster Funktionswert f ( x ¯ ) und ein größter Funktionswert f ( x ¯ ) . Nach der Definition des bestimmten Integrals gilt dann
f ( x ¯ ) h x x + h f ( t ) d t f ( x ¯ ) h , a l s o f ( x ¯ ) 1 h x x + h f ( t ) d t f ( x ¯ ) .

3. Schritt: Wir berechnen den Grenzwert des Differenzenquotienten für h 0 :

Aus obiger Ungleichung folgt:
lim h 0 f ( x ¯ ) lim h 0 1 h x x + h f ( t ) d t lim h 0 f ( x ¯ ) (*)

Da f stetig ist, gilt lim h 0 f ( x ¯ ) = lim h 0 f ( x ¯ ) = f ( x ) .

Somit ergibt sich aus der Ungleichung (*):
lim h 0 Φ ( x + h ) Φ ( x ) h = lim h 0 1 h x x + h f ( t ) d t = f ( x )

Zum gleichen Ergebnis gelangt man für den Fall h < 0.
Damit ist gezeigt:
Φ ' ( x ) = f ( x )
w. z. b. w.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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