Schwerpunkt einer Fläche

Der Inhalt dieser Fläche hat dann die Maßzahl
$A={\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}.$

Zur Ermittlung der Koordinaten $x_{s}und{y}_s$ des Schwerpunktes wird durch S eine zur y-Achse parallele Achse gelegt. Dann besitzen alle Massenelemente, die auf einem schmalen, zur y-Achse parallelen Streifen der Breite $\Delta x$ liegen, nahezu das gleiche Drehmoment bezüglich der gewählten Schwerelinie. Der Streifen hat die Flächenmaßzahl $f(x_k)\cdot \Delta x.$
Für das Drehmoment des Streifens gilt:
$\Delta M_k\approx g\cdot \mu \cdot f(x_k)\cdot \Delta x\cdot (x_s-x_k)$

Um das Gesamtdrehmoment zu ermitteln, ist nun die Summe der Drehmomente aller Streifen der Fläche zu bilden und der Grenzwert dieser Summe für $\Delta x\to 0$ zu berechnen.
Es ergibt sich so das folgende Integral:
$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n\Delta M_k}={\displaystyle {\int }_a^{b}g\cdot \mu \cdot f(x)\cdot (x_s-x)dx}$

Da die Achse durch den Schwerpunkt gehen soll, ist dieses Integral gleich null.

Wegen $g,\mu \ne 0$ gilt $x_s\cdot {\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}-{\displaystyle {\int }_a^{b}x\cdot f(x)dx}=\mathrm{0,}$ woraus folgt:
$x_s=\frac{{\displaystyle {\int }_a^{b}x\cdot f(x)dx}}{{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}}$

Durch analoge Überlegungen ergibt sich:
$y_s=\frac{\frac{1}{2}\cdot {\displaystyle {\int }_a^b{\left[f(x)\right]}^{2}dx}}{{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}}$

Beispiel: Es ist der Schwerpunkt der im Folgenden abgebildeten Dreiecksfläche zu ermitteln.

$\begin{array}{l}A={\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)dx={\displaystyle {\int }_a^b(-\frac{x}{2}+1)dx}}=1\\ {\displaystyle {\int }_0^{2}x\cdot f(x)dx}={\displaystyle {\int }_0^2(-\frac{x^2}{2}+x)dx}={\left[-\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}\right]}_0^2=-\frac{4}{3}+2=\frac{2}{3}\\ {\displaystyle {\int }_0^2{\left[f(x)\right]}^{2}dx}={\displaystyle {\int }_0^2(\frac{x^2}{4}-x+1)dx}={\left[\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x\right]}_0^2=\frac{2}{3}-2+2=\frac{2}{3}\end{array}$
Somit ist $x_s=\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}$ und $y_s=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}}{1}=\frac{1}{3}$.