Mittelpunkt einer Strecke

In beiden Fällen werden die Punkte P1undP2 durch ihre Ortsvektoren p1bzw.p2 (bezüglich O, dem Koordinatenursprung) beschrieben.

Wir berechnen nun zunächst den Ortsvektor m des Mittelpunktes M. Entsprechend der folgenden Abbildung gilt:
m=p1+P1M=p1+12(p2p1)=12(p1+p2)

Mittelpunkt einer Strecke

Die Gleichung m=12(p1+p2) ist die vektorielle Mittelpunktsgleichung, gültig für die Ebene und den Raum.

Unter Verwendung der Koordinaten der Ortsvektoren folgt hieraus im ebenen Fall, also mit
p1=(x1y1) und p2=(x2y2)
für die Koordinaten xmundym des Vektors m:
m=(xmym)=12(p1+p2)=12((x1y1)+(x2y2))=(12(x1+x2)12(y1+y2))

Der Koordinatenvergleich ergibt die folgende Koordinatendarstellung:
xm=x1+x22,ym=y1+y22

Für den räumlichen Fall erhält man die dritte Koordinate analog. Hier gilt mit
p1=(x1y1z1) und p2=(x2y2z2)
m=(xmymzm)=12(p1+p2)=12((x1y1z1)+(x2y2z2))=(12(x1+x2)12(y1+y2)12(z1+z2)), woraus man xm=x1+x22,ym=y1+y22undzm=z1+z22 erhält.

Zusammenfassung

Für den Mittelpunkt M der Strecke P1P2¯

  • in der Ebene mit den Endpunkten P1(x1;y1) und P2(x2;y2) gilt
    M(x1+x22;y1+y22);
  • im Raum mit den Endpunkten P1(x1;y1;z1) und P2(x2;y2;z2) gilt
    M(x1+x22;y1+y22;z1+z22).

Die oben dargestellte Vorgehensweise ist ebenso anwendbar, wenn nicht die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke zu ermitteln sind, sondern z.B. die Koordinaten eines Punktes, der diese Strecke im Verhältnis 1:(n1) teilen soll.

Teilungspunkt einer Strecke

Wir bestimmen in diesem Fall der beliebigen Teilung einer Streckeden Vektor mn mit
mn=p1+P1Mn=p1+1n(p2p1)=n1np1+1np2=1n((n1)p1+p2).

Für den Halbierungspunkt, also für n = 2, erhält man als Spezialfall wieder das oben angeführte Resultat.

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