Mittelpunkt einer Strecke

In beiden Fällen werden die Punkte P 1 u n d P 2 durch ihre Ortsvektoren p 1 b z w . p 2 (bezüglich O, dem Koordinatenursprung) beschrieben.

Wir berechnen nun zunächst den Ortsvektor m des Mittelpunktes M. Entsprechend der folgenden Abbildung gilt:
m = p 1 + P 1 M = p 1 + 1 2 ( p 2 p 1 ) = 1 2 ( p 1 + p 2 )

Mittelpunkt einer Strecke

Mittelpunkt einer Strecke

Die Gleichung m = 1 2 ( p 1 + p 2 ) ist die vektorielle Mittelpunktsgleichung, gültig für die Ebene und den Raum.

Unter Verwendung der Koordinaten der Ortsvektoren folgt hieraus im ebenen Fall, also mit
p 1 = ( x 1 y 1 ) und p 2 = ( x 2 y 2 )
für die Koordinaten x m u n d y m des Vektors m :
m = ( x m y m ) = 1 2 ( p 1 + p 2 ) = 1 2 ( ( x 1 y 1 ) + ( x 2 y 2 ) ) = ( 1 2 ( x 1 + x 2 ) 1 2 ( y 1 + y 2 ) )

Der Koordinatenvergleich ergibt die folgende Koordinatendarstellung:
x m = x 1 + x 2 2 , y m = y 1 + y 2 2

Für den räumlichen Fall erhält man die dritte Koordinate analog. Hier gilt mit
p 1 = ( x 1 y 1 z 1 ) und p 2 = ( x 2 y 2 z 2 )
m = ( x m y m z m ) = 1 2 ( p 1 + p 2 ) = 1 2 ( ( x 1 y 1 z 1 ) + ( x 2 y 2 z 2 ) ) = ( 1 2 ( x 1 + x 2 ) 1 2 ( y 1 + y 2 ) 1 2 ( z 1 + z 2 ) ) , woraus man x m = x 1 + x 2 2 , y m = y 1 + y 2 2 u n d z m = z 1 + z 2 2 erhält.

Zusammenfassung

Für den Mittelpunkt M der Strecke P 1 P 2 ¯

  • in der Ebene mit den Endpunkten P 1 ( x 1 ; y 1 ) und P 2 ( x 2 ; y 2 ) gilt
    M ( x 1 + x 2 2 ; y 1 + y 2 2 ) ;
  • im Raum mit den Endpunkten P 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) und P 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) gilt
    M ( x 1 + x 2 2 ; y 1 + y 2 2 ; z 1 + z 2 2 ) .

Die oben dargestellte Vorgehensweise ist ebenso anwendbar, wenn nicht die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke zu ermitteln sind, sondern z.B. die Koordinaten eines Punktes, der diese Strecke im Verhältnis 1 : ( n 1 ) teilen soll.

Teilungspunkt einer Strecke

Teilungspunkt einer Strecke

Wir bestimmen in diesem Fall der beliebigen Teilung einer Streckeden Vektor m n mit
m n = p 1 + P 1 M n = p 1 + 1 n ( p 2 p 1 ) = n 1 n p 1 + 1 n p 2 = 1 n ( ( n 1 ) p 1 + p 2 ) .

Für den Halbierungspunkt, also für n = 2, erhält man als Spezialfall wieder das oben angeführte Resultat.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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