Mittelpunkt einer Strecke

Eine Strecke sei durch die Koordinaten ihrer Endpunkte $P_{1} (x_{1}; y_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2})$ (in der Ebene) bzw. $P_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ (im Raum) gegeben.

Um die Koordinaten des Mittelpunkts dieser Strecke zu bestimmen, kann man – und darin besteht ein Vorzug vektorieller Arbeitsweise – die Betrachtungen für die Ebene und den Raum zunächst einheitlich durchführen.

In beiden Fällen werden die Punkte $P_{1} u n d P_{2}$ durch ihre Ortsvektoren ${\vec{p}}_{1} b z w . {\vec{p}}_{2}$ (bezüglich O, dem Koordinatenursprung) beschrieben.

Wir berechnen nun zunächst den Ortsvektor $\vec{m}$ des Mittelpunktes M. Entsprechend der folgenden Abbildung gilt:
$\vec{m} = {\vec{p}}_{1} + \vec{P_{1} M} = {\vec{p}}_{1} + \frac{1}{2} ({\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1}) = \frac{1}{2} ({\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2})$

Die Gleichung $\vec{m} = \frac{1}{2} ({\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2})$ ist die vektorielle Mittelpunktsgleichung, gültig für die Ebene und den Raum.

Unter Verwendung der Koordinaten der Ortsvektoren folgt hieraus im ebenen Fall, also mit
${\vec{p}}_{1} = (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix})$ und ${\vec{p}}_{2} = (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix})$
für die Koordinaten $x_{m} u n d y_{m}$ des Vektors $\vec{m}$ :
$\vec{m} = (\begin{matrix} x_{m} \\ y_{m} \end{matrix}) = \frac{1}{2} ({\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}) = \frac{1}{2} ((\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}) + (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix})) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} (x_{1} + x_{2}) \\ \frac{1}{2} (y_{1} + y_{2}) \end{matrix})$

Der Koordinatenvergleich ergibt die folgende Koordinatendarstellung:
$x_{m} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, y_{m} = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$

Für den räumlichen Fall erhält man die dritte Koordinate analog. Hier gilt mit
${\vec{p}}_{1} = (\begin{matrix} x_{1} \\ \begin{matrix} y_{1} \\ z_{1} \end{matrix} \end{matrix})$ und ${\vec{p}}_{2} = (\begin{matrix} x_{2} \\ \begin{matrix} y_{2} \\ z_{2} \end{matrix} \end{matrix})$
$\vec{m} = (\begin{matrix} x_{m} \\ \begin{matrix} y_{m} \\ z_{m} \end{matrix} \end{matrix}) = \frac{1}{2} ({\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}) = \frac{1}{2} ((\begin{matrix} x_{1} \\ \begin{matrix} y_{1} \\ z_{1} \end{matrix} \end{matrix}) + (\begin{matrix} x_{2} \\ \begin{matrix} y_{2} \\ z_{2} \end{matrix} \end{matrix})) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} (x_{1} + x_{2}) \\ \begin{matrix} \frac{1}{2} (y_{1} + y_{2}) \\ \frac{1}{2} (z_{1} + z_{2}) \end{matrix} \end{matrix})$ , woraus man $x_{m} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, y_{m} = \frac{y_{1} + y_{2}}{2} u n d z_{m} = \frac{z_{1} + z_{2}}{2}$ erhält.

Zusammenfassung

Für den Mittelpunkt M der Strecke $\bar{P_{1} P_{2}}$

in der Ebene mit den Endpunkten $P_{1} (x_{1}; y_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2})$ gilt
$M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}; \frac{y_{1} + y_{2}}{2});$
im Raum mit den Endpunkten $P_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ gilt
$M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}; \frac{y_{1} + y_{2}}{2}; \frac{z_{1} + z_{2}}{2})$ .

Die oben dargestellte Vorgehensweise ist ebenso anwendbar, wenn nicht die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke zu ermitteln sind, sondern z.B. die Koordinaten eines Punktes, der diese Strecke im Verhältnis $1 : (n - 1)$ teilen soll.

Wir bestimmen in diesem Fall der beliebigen Teilung einer Streckeden Vektor $\vec{m_{n}}$ mit
$\vec{m_{n}} = {\vec{p}}_{1} + \vec{P_{1} M_{n}} = {\vec{p}}_{1} + \frac{1}{n} ({\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1}) = \frac{n - 1}{n} {\vec{p}}_{1} + \frac{1}{n} {\vec{p}}_{2} = \frac{1}{n} ((n - 1) {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2})$ .