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  6. Mittelpunkt einer Strecke

Mittelpunkt einer Strecke

Eine Strecke sei durch die Koordinaten ihrer Endpunkte P 1 ( x 1 ;     y 1 ) und P 2 ( x 2 ;     y 2 ) (in der Ebene) bzw. P 1 ( x 1 ;     y 1 ;     z 1 ) und P 2 ( x 2 ;     y 2 ;     z 2 ) (im Raum) gegeben.

Um die Koordinaten des Mittelpunkts dieser Strecke zu bestimmen, kann man – und darin besteht ein Vorzug vektorieller Arbeitsweise – die Betrachtungen für die Ebene und den Raum zunächst einheitlich durchführen.

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In beiden Fällen werden die Punkte P 1         u n d         P 2 durch ihre Ortsvektoren p → 1         b z w .         p → 2 (bezüglich O, dem Koordinatenursprung) beschrieben.

Wir berechnen nun zunächst den Ortsvektor m → des Mittelpunktes M. Entsprechend der folgenden Abbildung gilt:
m → = p → 1 + P 1   M → = p → 1 + 1 2 ( p → 2 − p → 1 ) = 1 2 ( p → 1 + p → 2 )

  • Mittelpunkt einer Strecke

Die Gleichung m → = 1 2 ( p → 1 + p → 2 ) ist die vektorielle Mittelpunktsgleichung, gültig für die Ebene und den Raum.

Unter Verwendung der Koordinaten der Ortsvektoren folgt hieraus im ebenen Fall, also mit
p → 1 = ( x 1 y 1 ) und p → 2 = ( x 2 y 2 )
für die Koordinaten x m         u n d         y m des Vektors m → :
m → = ( x m y m ) =       1 2 (   p → 1 + p → 2 ) =       1 2 ( ( x 1 y 1 ) + ( x 2 y 2 ) ) = ( 1 2 ( x 1 + x 2 ) 1 2 ( y 1 + y 2 ) )

Der Koordinatenvergleich ergibt die folgende Koordinatendarstellung:
x m = x 1 + x 2 2 ,                 y m = y 1 + y 2 2

Für den räumlichen Fall erhält man die dritte Koordinate analog. Hier gilt mit
p → 1 = ( x 1 y 1 z 1 ) und p → 2 = ( x 2 y 2 z 2 )
m → = ( x m y m z m ) =       1 2 (   p → 1 + p → 2 ) =       1 2 ( ( x 1 y 1 z 1 ) + ( x 2 y 2 z 2 ) ) = ( 1 2 ( x 1 + x 2 ) 1 2 ( y 1 + y 2 ) 1 2 ( z 1 + z 2 ) ) , woraus man x m = x 1 + x 2 2 ,             y m = y 1 + y 2 2             u n d           z m = z 1 + z 2 2 erhält.

Zusammenfassung

Für den Mittelpunkt M der Strecke P 1   P 2 ¯

  • in der Ebene mit den Endpunkten P 1 ( x 1 ;     y 1 ) und P 2 ( x 2 ;     y 2 ) gilt
    M ( x 1 + x 2 2     ;       y 1 + y 2 2 ) ;
  • im Raum mit den Endpunkten P 1 ( x 1 ;     y 1 ;     z 1 ) und P 2 ( x 2 ;     y 2 ;     z 2 ) gilt
    M ( x 1 + x 2 2     ;       y 1 + y 2 2     ;       z 1 + z 2 2 ) .

Die oben dargestellte Vorgehensweise ist ebenso anwendbar, wenn nicht die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke zu ermitteln sind, sondern z.B. die Koordinaten eines Punktes, der diese Strecke im Verhältnis 1       :       ( n − 1 ) teilen soll.

  • Teilungspunkt einer Strecke

Wir bestimmen in diesem Fall der beliebigen Teilung einer Streckeden Vektor m n → mit
m n → = p → 1 + P 1   M n → = p → 1 + 1 n ( p → 2 − p → 1 ) = n − 1 n   p → 1 + 1 n   p → 2 = 1 n   ( ( n − 1 )   p → 1 + p → 2 ) .

Für den Halbierungspunkt, also für n = 2, erhält man als Spezialfall wieder das oben angeführte Resultat.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Mittelpunkt einer Strecke." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/mittelpunkt-einer-strecke (Abgerufen: 20. May 2025, 08:56 UTC)

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