Linear unabhängige Vektoren (Linearkombination)

  • Der Vektor b (aus V) wird als Linearkombination der Vektoren a 1 , a 2 , ..., a n bezeichnet, wenn es reelle Zahlen λ i gibt, für die gilt:
    λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n = b

Unter Verwendung des Begriffes Linearkombination lässt sich nun äquivalent formulieren:

  • Die Vektoren a 1 , a 2 , ..., a n heißen linear unabhängig, wenn sich kein Vektor von ihnen als Linearkombination aus den übrigen darstellen lässt.

Wir betrachten dazu im Folgenden zwei Beispiele.

  • Beispiel 1: Es ist zu prüfen, ob die beiden Vektoren a 1 = ( 3 1 ) u n d a 2 = ( 12 4 )
    linear abhängig oder unabhängig sind.

Wir gehen von folgender Gleichung aus:
   λ 1 a 1 + λ 2 a 2 = o b z w . λ 1 ( 3 1 ) + λ 2 ( 12 4 ) = ( 0 0 )

Das sich hieraus ergebende homogene lineare Gleichungssystem
3 λ 1 + 12 λ 2 = 0 λ 1 + 4 λ 2 = 0

besitzt neben der trivialen Lösung λ 1 = λ 2 = 0 noch λ 1 = 4 u n d λ 2 = 1 als Lösung.

Damit gilt 4 a 1 a 2 = o , d.h., die beiden Vektoren a 1 u n d a 2 sind linear abhängig.

  • Beispiel 2: Es ist zu prüfen, ob die drei Vektoren a 1 = ( 1 1 0 ) , a 2 = ( 1 0 1 ) u n d a 3 = ( 0 2 0 )
    linear abhängig oder unabhängig sind.

Die Vektorgleichung
λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 = o b z w . λ 1 ( 1 1 0 ) + λ 2 ( 1 0 1 ) + λ 3 ( 0 2 0 ) = ( 0 0 0 )
führt zu folgendem Gleichungssystem:
λ 1 + λ 2 = 0 λ 1 + 2 λ 3 = 0 λ 2 = 0

Dieses hat nur die triviale Lösung λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 .

Damit sind die Vektoren a 1 , a 2 u n d a 3 voneinander unabhängig.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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