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Linear unabhängige Vektoren (Linearkombination)

Es seien a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a n → Vektoren eines Vektorraumes V (mit o → als dem Nullvektor).

  • Die Vektoren a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a n → heißen genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung λ 1 a 1 → + λ 2 a 2 → + ... + λ n a n → = o → nur für λ 1 = λ 2 = ... = λ n = 0 erfüllt ist.
    Anderenfalls heißen die Vektoren a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a n → linear abhängig.

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  • Der Vektor b → (aus V) wird als Linearkombination der Vektoren a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a n → bezeichnet, wenn es reelle Zahlen λ   i gibt, für die gilt:
    λ 1 a 1 → + λ 2 a 2 → + ... + λ n a n → = b →

Unter Verwendung des Begriffes Linearkombination lässt sich nun äquivalent formulieren:

  • Die Vektoren a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a n → heißen linear unabhängig, wenn sich kein Vektor von ihnen als Linearkombination aus den übrigen darstellen lässt.

Wir betrachten dazu im Folgenden zwei Beispiele.

  • Beispiel 1: Es ist zu prüfen, ob die beiden Vektoren a 1 → = ( 3 1 )       u n d       a 2 → = ( 12 4 )
    linear abhängig oder unabhängig sind.

Wir gehen von folgender Gleichung aus:
     λ 1 a 1 → + λ 2 a 2 → = o →     b z w .     λ 1 ( 3 1 ) + λ 2 ( 12 4 ) = ( 0 0 )

Das sich hieraus ergebende homogene lineare Gleichungssystem
  3 λ 1 + 12 λ 2 = 0 λ 1 +       4 λ 2 = 0

besitzt neben der trivialen Lösung λ 1 = λ 2 = 0 noch λ 1 = 4       u n d       λ 2 = − 1 als Lösung.

Damit gilt 4 a 1 → − a 2 → = o → , d.h., die beiden Vektoren a 1 →       u n d       a 2 → sind linear abhängig.

  • Beispiel 2: Es ist zu prüfen, ob die drei Vektoren a 1 → = ( 1 1 0 ) ,       a 2 → = ( 1 0 1 )       u n d       a 3 → = ( 0 2 0 )
    linear abhängig oder unabhängig sind.

Die Vektorgleichung
  λ 1 a 1 → + λ 2 a 2 → + λ 3 a 3 → = o →     b z w .     λ 1 ( 1 1 0 ) + λ 2 ( 1 0 1 ) + λ 3 ( 0 2 0 ) = ( 0 0 0 )
führt zu folgendem Gleichungssystem:
  λ 1 + λ 2                               = 0   λ 1                         + 2 λ 3 = 0 λ 2                             = 0

Dieses hat nur die triviale Lösung λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 .

Damit sind die Vektoren a 1 → ,       a 2 →       u n d       a 3 → voneinander unabhängig.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Linear unabhängige Vektoren (Linearkombination)." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/linear-unabhaengige-vektoren-linearkombination (Abgerufen: 20. May 2025, 10:38 UTC)

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