Linear unabhängige Vektoren (Linearkombination)

• Der Vektor $\overrightarrow{b}$ (aus V) wird als Linearkombination der Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_n}$ bezeichnet, wenn es reelle Zahlen $\lambda {}_i$ gibt, für die gilt:
  ${\lambda }_1\overrightarrow{a_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{a_2}+\mathrm{...}+{\lambda }_n\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{b}$

Unter Verwendung des Begriffes Linearkombination lässt sich nun äquivalent formulieren:

• Die Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\mathrm{...,}\overrightarrow{a_n}$ heißen linear unabhängig, wenn sich kein Vektor von ihnen als Linearkombination aus den übrigen darstellen lässt.

Wir betrachten dazu im Folgenden zwei Beispiele.

• Beispiel 1: Es ist zu prüfen, ob die beiden Vektoren $\overrightarrow{a_1}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)und\overrightarrow{a_2}=\left(\begin{array}{c}12\\ 4\end{array}\right)$
  linear abhängig oder unabhängig sind.

Wir gehen von folgender Gleichung aus:
${\lambda }_1\overrightarrow{a_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{a_2}=\overrightarrow{o}bzw.{\lambda }_1\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)+{\lambda }_2\left(\begin{array}{c}12\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

Das sich hieraus ergebende homogene lineare Gleichungssystem
$\begin{array}{c}3{\lambda }_1+12{\lambda }_2=0\\ {\lambda }_1+4{\lambda }_2=0\end{array}$

besitzt neben der trivialen Lösung ${\lambda }_1={\lambda }_2=0$ noch ${\lambda }_1=4und{\lambda }_2=-1$ als Lösung.

Damit gilt $4\overrightarrow{a_1}-\overrightarrow{a_2}=\overrightarrow{o}$, d.h., die beiden Vektoren $\overrightarrow{a_1}und\overrightarrow{a_2}$ sind linear abhängig.

• Beispiel 2: Es ist zu prüfen, ob die drei Vektoren $\overrightarrow{a_1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\overrightarrow{a_2}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)und\overrightarrow{a_3}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)$
  linear abhängig oder unabhängig sind.

Die Vektorgleichung
${\lambda }_1\overrightarrow{a_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{a_2}+{\lambda }_3\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow{o}bzw.{\lambda }_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+{\lambda }_2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+{\lambda }_3\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
führt zu folgendem Gleichungssystem:
$\begin{array}{c}{\lambda }_1+{\lambda }_2=0\\ {\lambda }_1+2{\lambda }_3=0\\ {\lambda }_2=0\end{array}$

Dieses hat nur die triviale Lösung ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0$.

Damit sind die Vektoren $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}und\overrightarrow{a_3}$ voneinander unabhängig.