Lösen von Vektorgleichungen

Im Folgenden werden zwei Beispiele für das Lösen von Vektorgleichungen zur Ermittlung von Lagebeziehungen geometrischer Objekte gegeben.

  • Beispiel 1: Es ist die Lagebeziehung der folgenden Geraden g 1 u n d g 2 zu überprüfen:
    g 1 : x = ( 2 1 4 ) + r ( 3 2 1 ) g 2 : x = ( 2 2 4 ) + s ( 2 3 6 )

Gleichsetzen ergibt:
( 2 1 4 ) + r ( 3 2 1 ) = ( 2 2 4 ) + s ( 2 3 6 )

Das führt auf das folgende Gleichungssystem:
( I ) 3 r 2 s = 4 ( I I ) 2 r 3 s = 1 ( I I I ) r + 6 s = 8

Dieses lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar für r = 2 u n d s = 1. Einsetzen von r bzw. s in die Geradengleichungen von g 1 b z w . g 2 liefert die Koordinaten des Schnittpunktes S:
g 1 : x = ( 2 1 4 ) + 2 ( 3 2 1 ) = ( 4 5 2 ) S ( 4 ; 5 ; 2 )

  • Beispiel 2: Es ist die Lagebeziehung der folgenden Ebenen ε 1 u n d ε 2 zu überprüfen:
    ε 1 : x = ( 3 4 2 ) + r 1 ( 1 1 3 ) + s 1 ( 1 5 4 ) ε 2 : x = ( 1 1 1 ) + r 2 ( 1 2 1 ) + s 2 ( 0 1 3 )

Gleichsetzen ergibt:
( 3 4 2 ) + r 1 ( 1 1 3 ) + s 1 ( 1 5 4 ) = ( 1 1 1 ) + r 2 ( 1 2 1 ) + s 2 ( 0 1 3 )

Daraus resultiert das folgende Gleichungssystem:
( I ) r 1 s 1 + r 2 = 2 ( I I ) r 1 5 s 1 2 r 2 s 2 = 3 ( I I I ) 3 r 1 + 4 s 1 + r 2 3 s 2 = 3

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Variablen, das mehrdeutig lösbar oder unlösbar sein kann.
Im vorliegenden Beispiel ist s 2 = t frei wählbar.
Wir erhalten r 1 = 2 t ; s 1 = 1 t u n d r 2 = 1 + t .
Einsetzen dieser Werte in die Ebenengleichungen liefert die vektorielle Gleichung für die Schnittgerade:
x = ( 2 1 2 ) + t ( 1 3 2 )

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