Lösen von Vektorgleichungen

Eine Gleichung, deren Variable als Vektoren geschrieben werden können, bezeichnet man als Vektorgleichung.
Beim Lösen von Vektorgleichungen wird die Definition der Gleichheit von Vektoren zugrunde gelegt:
$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow Für alle a_{i}, b_{i} gilt a_{i} = b_{i} .$
Damit kann die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem mit den Komponenten der Vektoren umgewandelt werden (Prinzip des Koordinatenvergleichs).
Mithilfe von Vektorgleichungen können z.B. Lagebeziehungen geometrischer Objekte ermittelt werden.

Lagebeziehungen

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Im Folgenden werden zwei Beispiele für das Lösen von Vektorgleichungen zur Ermittlung von Lagebeziehungen geometrischer Objekte gegeben.

Beispiel 1: Es ist die Lagebeziehung der folgenden Geraden $g_{1} u n d g_{2}$ zu überprüfen:
$g_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ $g_{2} : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 6 \end{matrix})$

Gleichsetzen ergibt:
$(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ - 6 \end{matrix})$

Das führt auf das folgende Gleichungssystem:
$\begin{matrix} (I) & 3 r - 2 s = 4 \\ (I I) & 2 r - 3 s = 1 \\ (I I I) & r + 6 s = 8 \end{matrix}$

Dieses lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar für $r = 2 u n d s = 1.$ Einsetzen von r bzw. s in die Geradengleichungen von $g_{1} b z w . g_{2}$ liefert die Koordinaten des Schnittpunktes S:
$g_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) + 2 (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ - 2 \end{matrix}) \Rightarrow S (4; 5; - 2)$

Beispiel 2: Es ist die Lagebeziehung der folgenden Ebenen $ε_{1} u n d ε_{2}$ zu überprüfen:
$ε_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix}) + r_{1} (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) + s_{1} (\begin{matrix} - 1 \\ - 5 \\ 4 \end{matrix}) ε_{2} : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + r_{2} (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) + s_{2} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})$

Gleichsetzen ergibt:
$(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix}) + r_{1} (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) + s_{1} (\begin{matrix} - 1 \\ - 5 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + r_{2} (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) + s_{2} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})$

Daraus resultiert das folgende Gleichungssystem:
$\begin{matrix} (I) & - r_{1} - s_{1} + r_{2} = - 2 \\ (I I) & - r_{1} - 5 s_{1} - 2 r_{2} - s_{2} = - 3 \\ (I I I) & 3 r_{1} + 4 s_{1} + r_{2} - 3 s_{2} = 3 \end{matrix}$

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Variablen, das mehrdeutig lösbar oder unlösbar sein kann.
Im vorliegenden Beispiel ist $s_{2} = t$ frei wählbar.
Wir erhalten $r_{1} = 2 t; s_{1} = 1 - t u n d r_{2} = - 1 + t .$
Einsetzen dieser Werte in die Ebenengleichungen liefert die vektorielle Gleichung für die Schnittgerade:
$\vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})$

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