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  6. Lösen von Vektorgleichungen

Lösen von Vektorgleichungen

Eine Gleichung, deren Variable als Vektoren geschrieben werden können, bezeichnet man als Vektorgleichung.
Beim Lösen von Vektorgleichungen wird die Definition der Gleichheit von Vektoren zugrunde gelegt:
  a → = b → ⇔ Für alle  a i ,     b i  gilt  a i = b i .
Damit kann die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem mit den Komponenten der Vektoren umgewandelt werden (Prinzip des Koordinatenvergleichs).
Mithilfe von Vektorgleichungen können z.B. Lagebeziehungen geometrischer Objekte ermittelt werden.

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Im Folgenden werden zwei Beispiele für das Lösen von Vektorgleichungen zur Ermittlung von Lagebeziehungen geometrischer Objekte gegeben.

  • Beispiel 1: Es ist die Lagebeziehung der folgenden Geraden g 1       u n d       g 2 zu überprüfen:
    g 1 :     x → = ( − 2 1 − 4 ) + r ( 3 2 1 ) g 2 :     x → = ( 2 2 4 ) + s ( 2 3 − 6 )

Gleichsetzen ergibt:
( − 2 1 − 4 ) + r ( 3 2 1 ) = ( 2 2 4 ) + s ( 2 3 − 6 )

Das führt auf das folgende Gleichungssystem:
  ( I ) 3 r − 2 s = 4 ( I I ) 2 r − 3 s = 1 ( I I I ) r + 6 s = 8

Dieses lineare Gleichungssystem ist eindeutig lösbar für r = 2       u n d       s = 1. Einsetzen von r bzw. s in die Geradengleichungen von g 1       b z w .       g 2 liefert die Koordinaten des Schnittpunktes S:
g 1 :     x → = ( − 2 1 − 4 ) + 2 ( 3 2 1 ) = ( 4 5 − 2 ) ⇒ S ( 4 ; 5 ; − 2 )

  • Beispiel 2: Es ist die Lagebeziehung der folgenden Ebenen ε 1       u n d       ε 2 zu überprüfen:
    ε 1 :   x → = ( 3 4 − 2 ) + r 1 ( − 1 − 1 3 ) + s 1 ( − 1 − 5 4 )     ε 2 :   x → = ( 1 1 1 ) + r 2 ( − 1 2 − 1 ) + s 2 ( 0 1 3 )

Gleichsetzen ergibt:
  ( 3 4 −   2 ) + r 1 ( −   1 −   1 3 ) + s 1 ( −   1 −   5 4 ) = ( 1 1 1 ) + r 2 ( −   1 2 −   1 ) + s 2 ( 0 1 3 )

Daraus resultiert das folgende Gleichungssystem:
  ( I ) −   r 1           − s 1 + r 2                                 = −   2 ( I I ) −   r 1 − 5 s 1 − 2 r 2       − s 2 = −   3 ( I I I ) 3 r 1 + 4 s 1 + r 2 − 3 s 2 =           3

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Variablen, das mehrdeutig lösbar oder unlösbar sein kann.
Im vorliegenden Beispiel ist s 2 = t frei wählbar.
Wir erhalten r 1 = 2 t ;       s 1 = 1 − t       u n d       r 2 = − 1 + t .
Einsetzen dieser Werte in die Ebenengleichungen liefert die vektorielle Gleichung für die Schnittgerade:
  x → = ( 2 − 1 2 ) + t ( − 1 3 2 )

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Lösen von Vektorgleichungen ." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/loesen-von-vektorgleichungen (Abgerufen: 20. May 2025, 06:29 UTC)

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