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Darstellung von Vektoren

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind.
Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge heißt ein Repräsentant des Vektors.

Aus dieser Begriffsfestlegung ergibt sich die Möglichkeit, Vektoren in der Ebene und im Raum durch gerichtete Strecken darzustellen.

Fasst man Vektoren (allgemeiner) als n-Tupel reeller Zahlen auf, so führt dies zu einer Darstellung in Form einspaltiger bzw. einzeiliger Matrizen (Spalten- bzw. Zeilenvektoren).

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Beispielsweise lassen sich zwei Vektoren a →       u n d       b → mit a → ≠ b → in der in der folgenden Abbildung angegebenen Weise darstellen.

  • Vektoren als gerichtete Strecken

Neben dieser aus der Anschauung sowie vor allem aus physikalischen Sachverhalten gewonnenen Auffassung des Begriffs Vektor steht die abstraktere algebraische Erklärung des Vektorbegriffs als n-Tupel reeller Zahlen.

Davon ausgehend wird dann ein Vektor als eine spezielle Matrix, nämlich als eine einspaltige Matrix (oder Spaltenvektor) bzw. eine einzeilige Matrix (oder Zeilenvektor) in folgender Form geschrieben:
  ( a 1 a 2 ... a n )   b z w .   ( a 1 a 2 ... a n )       m i t       a i ∈ ℝ

Anmerkung:
Für die schreibtechnisch günstigere Darstellung eines Spaltenvektors
a → = ( a 1 a 2 ... a n )
als Zeilenvektor (transponierter Spaltenvektor) wird mitunter auch die Schreibweise a → T = ( a 1 a 2 ... a n ) genutzt.

Im (räumlichen) kartesischen Koordinatensystem dient der Vektor in der Form des Ortsvektors auch zur Beschreibung der Lage von Punkten.
Der zum Punkt P 1 ( x 1 ;     y 1 ;     z 1 ) gehörende Ortsvektor würde dann folgendermaßen geschrieben:
  p 1 → = ( x 1 y 1 z 1 )

  • Ortsvektor eines Punktes (im räumlichen kartesischen Koordinatensystem)
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Darstellung von Vektoren ." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/darstellung-von-vektoren (Abgerufen: 06. July 2025, 21:01 UTC)

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Kollinearität von Punkten (und Vektoren)

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Vektoren, deren Repräsentanten auf einer Geraden bzw. auf parallelen Geraden liegen, werden als kollineare Vektoren bezeichnet.

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Unterräume und Erzeugendensysteme

Die Betrachtung der Bedingungen der Vektorraumdefinition führen zur Definition eines Unterraumes sowie dem Unterraumkriterium und weiter zum Begriff des Erzeugendensystems. Es werden Beispiele von Unterräumen spezieller Vektorräume angeführt.

Linear unabhängige Vektoren (Linearkombination)

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  • Die Vektoren a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a n → heißen genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung λ 1 a 1 → + λ 2 a 2 → + ... + λ n a n → = o → nur für λ 1 = λ 2 = ... = λ n = 0 erfüllt ist.
    Anderenfalls heißen die Vektoren a 1 → ,       a 2 → ,       ...,       a n → linear abhängig.

Lösen von Vektorgleichungen

Eine Gleichung, deren Variable als Vektoren geschrieben werden können, bezeichnet man als Vektorgleichung.
Beim Lösen von Vektorgleichungen wird die Definition der Gleichheit von Vektoren zugrunde gelegt:
  a → = b → ⇔ Für alle  a i ,     b i  gilt  a i = b i .
Damit kann die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem mit den Komponenten der Vektoren umgewandelt werden (Prinzip des Koordinatenvergleichs).
Mithilfe von Vektorgleichungen können z.B. Lagebeziehungen geometrischer Objekte ermittelt werden.

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