Vektoren, Rechnen

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Vektoren, Rechnen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/vektoren-rechnen (Abgerufen: 20. August 2025, 15:27 UTC)

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Skalarprodukt zweier Vektoren

Die Betrachtung von Anwendungsbeispielen führt zur Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren.

Betrag eines Vektors

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind. Diese übereinstimmende Länge aller repräsentierenden Pfeile eines bestimmten Vektors nennt man dessen Betrag.

Darstellung von Vektoren

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind.
Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge heißt ein Repräsentant des Vektors.

Aus dieser Begriffsfestlegung ergibt sich die Möglichkeit, Vektoren in der Ebene und im Raum durch gerichtete Strecken darzustellen.

Fasst man Vektoren (allgemeiner) als n-Tupel reeller Zahlen auf, so führt dies zu einer Darstellung in Form einspaltiger bzw. einzeiliger Matrizen (Spalten- bzw. Zeilenvektoren).

Linear unabhängige Vektoren (Linearkombination)

Es seien $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, ..., \vec{a_{n}}$ Vektoren eines Vektorraumes V (mit $\vec{o}$ als dem Nullvektor).

Die Vektoren $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, ..., \vec{a_{n}}$ heißen genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung $λ_{1} \vec{a_{1}} + λ_{2} \vec{a_{2}} + ... + λ_{n} \vec{a_{n}} = \vec{o}$ nur für $λ_{1} = λ_{2} = ... = λ_{n} = 0$ erfüllt ist.
Anderenfalls heißen die Vektoren $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, ..., \vec{a_{n}}$ linear abhängig.

Lösen von Vektorgleichungen

Eine Gleichung, deren Variable als Vektoren geschrieben werden können, bezeichnet man als Vektorgleichung.
Beim Lösen von Vektorgleichungen wird die Definition der Gleichheit von Vektoren zugrunde gelegt:
$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow Für alle a_{i}, b_{i} gilt a_{i} = b_{i} .$
Damit kann die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem mit den Komponenten der Vektoren umgewandelt werden (Prinzip des Koordinatenvergleichs).
Mithilfe von Vektorgleichungen können z.B. Lagebeziehungen geometrischer Objekte ermittelt werden.

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