Vektoren, Rechnen

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Vektoren, Rechnen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/vektoren-rechnen (Abgerufen: 13. March 2026, 00:20 UTC)

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Kollinearität von Punkten (und Vektoren)

Punkte bezeichnet man als kollinear, wenn sie auf ein und derselben Geraden liegen. Zwei (verschiedene) Punkte sind stets kollinear, da sie eindeutig eine Gerade bestimmen.
Vektoren, deren Repräsentanten auf einer Geraden bzw. auf parallelen Geraden liegen, werden als kollineare Vektoren bezeichnet.

Die Lage eines Punktes P zu einer Geraden g (Lagebeziehung von Punkt und Gerade) kann auf verschiedene Weise untersucht werden. Im Folgenden wird dies – getrennt für die Ebene und den Raum – an Beispielen demonstriert.

Mittelpunkt einer Strecke

Eine Strecke sei durch die Koordinaten ihrer Endpunkte $P_{1} (x_{1}; y_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2})$ (in der Ebene) bzw. $P_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ (im Raum) gegeben.

Um die Koordinaten des Mittelpunkts dieser Strecke zu bestimmen, kann man – und darin besteht ein Vorzug vektorieller Arbeitsweise – die Betrachtungen für die Ebene und den Raum zunächst einheitlich durchführen.

Skalarprodukt zweier Vektoren

Die Betrachtung von Anwendungsbeispielen führt zur Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren.

Betrag eines Vektors

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind. Diese übereinstimmende Länge aller repräsentierenden Pfeile eines bestimmten Vektors nennt man dessen Betrag.

Darstellung von Vektoren

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind.
Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge heißt ein Repräsentant des Vektors.

Aus dieser Begriffsfestlegung ergibt sich die Möglichkeit, Vektoren in der Ebene und im Raum durch gerichtete Strecken darzustellen.

Fasst man Vektoren (allgemeiner) als n-Tupel reeller Zahlen auf, so führt dies zu einer Darstellung in Form einspaltiger bzw. einzeiliger Matrizen (Spalten- bzw. Zeilenvektoren).

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