Vektoren, Rechnen

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Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Rechnen mit Vektoren".

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Vektoren, Rechnen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/vektoren-rechnen (Abgerufen: 03. May 2025, 01:09 UTC)

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Mittelpunkt einer Strecke

Eine Strecke sei durch die Koordinaten ihrer Endpunkte $P_{1} (x_{1}; y_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2})$ (in der Ebene) bzw. $P_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ (im Raum) gegeben.

Um die Koordinaten des Mittelpunkts dieser Strecke zu bestimmen, kann man – und darin besteht ein Vorzug vektorieller Arbeitsweise – die Betrachtungen für die Ebene und den Raum zunächst einheitlich durchführen.

Skalarprodukt zweier Vektoren

Die Betrachtung von Anwendungsbeispielen führt zur Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren.

Betrag eines Vektors

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind. Diese übereinstimmende Länge aller repräsentierenden Pfeile eines bestimmten Vektors nennt man dessen Betrag.

Darstellung von Vektoren

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind.
Ein einzelner Pfeil aus dieser Menge heißt ein Repräsentant des Vektors.

Aus dieser Begriffsfestlegung ergibt sich die Möglichkeit, Vektoren in der Ebene und im Raum durch gerichtete Strecken darzustellen.

Fasst man Vektoren (allgemeiner) als n-Tupel reeller Zahlen auf, so führt dies zu einer Darstellung in Form einspaltiger bzw. einzeiliger Matrizen (Spalten- bzw. Zeilenvektoren).

Linear unabhängige Vektoren (Linearkombination)

Es seien $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, ..., \vec{a_{n}}$ Vektoren eines Vektorraumes V (mit $\vec{o}$ als dem Nullvektor).

Die Vektoren $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, ..., \vec{a_{n}}$ heißen genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung $λ_{1} \vec{a_{1}} + λ_{2} \vec{a_{2}} + ... + λ_{n} \vec{a_{n}} = \vec{o}$ nur für $λ_{1} = λ_{2} = ... = λ_{n} = 0$ erfüllt ist.
Anderenfalls heißen die Vektoren $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, ..., \vec{a_{n}}$ linear abhängig.

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