- Lexikon
- Mathematik Abitur
- 10 Vektoren und Vektorräume
- 10.9 Vektorprodukt und Spatprodukt von Vektoren
- 10.9.1 Vektorprodukt
- Vektorprodukt zweier Vektoren
Beispiel 1: Eine Balkenwaage, an der zwei Gewichtskräfte wirken, ist genau dann im Gleichgewicht, wenn ist (Hebelgesetz).
Gleichgewicht an der Balkenwaage (am Hebel)
Beispiel 2: Wir betrachten nun im Vergleich dazu eine Scheibe, die im Mittelpunkt D drehbar auf einer Achse gelagert ist und an der ebenfalls zwei Gewichtskräfte wirken.
Gewichtskräfte an einer drehbaren Scheibe
Im Unterschied zur Balkenwaage wirken die Gewichtskräfte in diesem Fall nicht senkrecht zum zugehörigen Kraftarm. Die Längen der hier wirksamen Kraftarme lassen sich folgendermaßen berechnen:
Damit herrscht an dieser Scheibe Gleichgewicht, wenn gilt:
Bedenkt man, dass auch der Weg – in diesem Fall die Länge des Kraftarms – eine gerichtete Größe ist
,
so kann man für die beiden Seiten der obigen Gleichung allgemein schreiben.
Der Ausdruck beschreibt die Größe des Drehmoments, das an der Scheibe im Punkt D wirkt, wenn die Kraft im Abstand vom Drehpunkt D angreift und und den Winkel einschließen. Darüber hinaus ist die Drehachse der Scheibe senkrecht zu und , d.h. senkrecht zu der Ebene, die durch und gebildet wird.
Orientiert an Ausdrücken der Form wird nun (analog zum Skalarprodukt) ein neues Produkt zweier Vektoren definiert.
Im Unterschied zum Skalarprodukt soll dieses Produkt einen Vektor ergeben. Für diesen Vektor soll außerdem gelten:
Vektorprodukt zweier Vektoren (Lage des Produktvektors)
Für das Drehmoment kann man dann schreiben, wobei die Größe des Drehmoments angibt.
Die Richtung von beschreibt die Richtung der Drehachse, um die ein Körper bei entsprechend einwirkender Kraft gedreht wird.
In der Physik verwendet man das Modell des starren Körpers. Ist ein solcher starrer Körper z.B. im Punkt D mit einem Kugelgelenk drehbar gelagert und greift im Punkt P die Kraft an, dann wirkt in D das Drehmoment auf den starren Körper.
Drehmoment am (Modell des) starren Körper(s)
Die Größe dieses Drehmoments ist .
Darüber hinaus bewirkt die Kraft eine Drehung des Körpers um eine Achse, deren Richtung durch festgelegt ist.
Fasst man obige Überlegungen verallgemeinert zusammen, so gelangt man zu folgender Definition des Vektorprodukts:
Stand: 2010
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