Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene

Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene

Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene

Winkel zwischen Gerade und Ebenennormale

Winkel zwischen Gerade und Ebenennormale

Durch diese Überlegung wird die Frage nach dem Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene auf das einfachere Problem des Schnittwinkels von zwei Geraden im Raum zurückgeführt.

Hat die Ebene ε die Gleichung ε:x=p0+ru+sv, so ist n=u×v ein Normalenvektor von ε. Ist die Gleichung von ε in der Koordinatenschreibweise, also ax+by+cz+d=0, angegeben, dann gilt
n=(abc).

Unter Verwendung der Definitionsgleichung des Skalarprodukts lässt sich nun als Formel für die Berechnung des Schnittwinkels zwischen n und g:x=p1+ta angeben:

  • cosα=|na||n||a|=|(u×v)a||u×v||a|

Da ϕ=90°α ist, kann man auch schreiben:

  • sinϕ=|(u×v)a||u×v||a|(mit0°ϕ90°)  

Beispiel 1: Es ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden
g:x=(135)+t(321)
und der xy-Ebene zu ermitteln.

Da jeder Normalenvektor n der xy-Ebene in z-Richtung weist, also z.B. die Gleichung
n=(001)
besitzt, gilt für den gesuchten Schnittwinkel
sinϕ=|(001)(321)||(001)||(321)|=1114=14140,2672 und damit ϕ15,5°.

Beispiel 2: Es ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden
g:x=(387)+t(502)
und der Ebene
ε:x=(214)+u(173)+v(221)
zu ermitteln.

Mit
n=(173)×(221)=(1716)
erhält man nach obiger Formel
sinϕ=|(1716)(502)||(1716)||(502)|=37306290,3928 und damit ϕ23,13°.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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