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Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene

Schneidet eine Gerade g die Ebene ε im Punkt S, so versteht man unter dem Schnittwinkel ϕ von g und ε den kleinsten Winkel, den eine beliebige Gerade aus ε , die durch S geht, mit g bildet.
Für die Berechnung von ϕ wird die Tatsache genutzt, dass ϕ der Komplementwinkel des Winkels α zwischen einem Normalenvektor n → von ε und einem Richtungsvektor a → von g ist. Es gilt ϕ = 90 ° − α .

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  • Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene
  • Winkel zwischen Gerade und Ebenennormale

Durch diese Überlegung wird die Frage nach dem Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene auf das einfachere Problem des Schnittwinkels von zwei Geraden im Raum zurückgeführt.

Hat die Ebene ε die Gleichung ε   :     x → = p   → 0 + r   u → + s   v → , so ist n → = u →     ×     v → ein Normalenvektor von ε . Ist die Gleichung von ε in der Koordinatenschreibweise, also a   x + b   y + c   z + d     =     0 , angegeben, dann gilt
n → =     ( a b c ) .

Unter Verwendung der Definitionsgleichung des Skalarprodukts lässt sich nun als Formel für die Berechnung des Schnittwinkels zwischen n → und g   : x → = p → 1 + t   a → angeben:

  • cos   α =   |   n → ⋅ a →   | | n → | ⋅ | a → | = |   ( u → × v → ) ⋅ a →   | |   u → × v →   | ⋅ |   a →   |

Da ϕ = 90 ° − α ist, kann man auch schreiben:

  • sin   ϕ = |   ( u → × v → ) ⋅ a →   | |   u → × v →   | ⋅ |   a →   |         ( m i t       0 ° ≤ ϕ ≤ 90 ° )  

Beispiel 1: Es ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden
g   : x → = ( 1 3 5 ) + t   ( 3 2 1 )
und der xy-Ebene zu ermitteln.

Da jeder Normalenvektor n → der xy-Ebene in z-Richtung weist, also z.B. die Gleichung
n → = ( 0 0 1 )
besitzt, gilt für den gesuchten Schnittwinkel
sin   ϕ = |   ( 0 0 1 )     ⋅   ( 3 2 1 )   | |   ( 0 0 1 )   |   ⋅   |   ( 3 2 1 )   | = 1 1 ⋅ 14 = 14 14 ≈ 0,2672 und damit ϕ ≈ 15,5 ° .

Beispiel 2: Es ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden
g   : x → = ( 3 − 8 7 ) +   t   ( 5 0 2 )  
und der Ebene
ε   : x → = ( 2 − 1 4 ) +   u   ( 1 − 7 3 )   +   v   ( 2 2 − 1 )
zu ermitteln.

Mit
n → = ( 1 − 7 3 )     ×     ( 2 2 − 1 ) = ( 1 7 16 )
erhält man nach obiger Formel
sin   ϕ = |   ( 1 7 16 )     ⋅   ( 5 0 2 )   | |   ( 1 7 16 )   |   ⋅   |   ( 5 0 2 )   | = 37 306 ⋅ 29 ≈ 0,3928 und damit ϕ ≈ 23,13 ° .

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/schnittwinkel-einer-geraden-mit-einer-ebene (Abgerufen: 19. May 2025, 13:53 UTC)

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