Abstand zweier Ebenen

  • Bezeichnet P 1 einen beliebigen Punkt von ε 1 und P 2 einen beliebigen Punkt von ε 2 , so soll unter dem Abstand von ε 1 und ε 2 die kleinste aller möglichen Streckenlängen | P 1 P 2 ¯ | verstanden werden.

Sind ε 1 und ε 2 nicht zueinander parallel, so haben beide eine Schnittgerade g gemeinsam.

Einander schneidende Ebenen

Einander schneidende Ebenen

Wie beim Abstand zweier einander schneidender Geraden würde sich hier der Abstand 0 ergeben, obwohl ε 1 und ε 2 nicht zusammenfallen.
Aus diesem Grund betrachten wir im Weiteren nur zwei zueinander parallele Ebenen ε 1 und ε 2 .

Wählt man einen Punkt P 1 von ε 1 und fällt das Lot von P 1 auf ε 2 , dann bezeichnet L 1 den zugehörigen Lotfußpunkt. Aufgrund der Dreiecksungleichung ist | P 1 L 1 ¯ | die kürzeste unter allen Verbindungsstrecken, die P 1 mit einem Punkt X von ε 2 verbinden.

Begriff des Abstands zweier paralleler Ebenen

Begriff des Abstands zweier paralleler Ebenen

Wir betrachten nun einen von P 1 verschiedenen Punkt P 1 * in ε 1 . L 1 * bezeichnet dann den zugehörigen Lotfußpunkt in ε 2 und P 1 P 1 * L 1 * L 1 bildet ein Rechteck.

Berechnung des Abstands zweier paralleler Ebenen

Berechnung des Abstands zweier paralleler Ebenen

Daraus kann man schlussfolgern, dass die Bestimmung des Abstandes zweier paralleler Ebenen ε 1 und ε 2 unabhängig von der Wahl des Punktes P 1 von ε 1 in ist.

Durch diese Überlegung lässt sich die Abstandsbestimmung für zwei zueinander parallele Ebenen auf die Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene zurückführen. Es gelten die folgenden beiden Sätze.

  • Satz: Sind im Raum zwei zueinander parallele Ebene ε 1 und ε 2 jeweils durch einen Stützpunkt P 1 bzw. P 2 und jeweils einen Normalenvektor n 1 bzw. n 2 ( n 1 und n 2 sind linear abhängig voneinander) gegeben, so kann man den (vorzeichenbehafteten) Abstand der beiden Ebenen durch
    h = ( p 2 p 1 ) n 1 | n 1 | berechnen.
  • Satz: Sind im Raum zwei zueinander parallele Ebene ε 1 und ε 2 durch ihre Gleichungen a x + b y + c z + d 1 = 0 bzw. a x + b y + c z + d 2 = 0 gegeben, so kann man den (vorzeichenbehafteten) Abstand der beiden Ebenen (beispielsweise) unter Verwendung der Koordinaten des Punktes P 2 ( x P 2 ; y P 2 ; z P 2 ) ε 2 durch h = a x P 2 + b y P 2 + c z P 2 + d 1 a 2 + b 2 + c 2 bestimmen.

Berechnet man den Abstand von ε 1 und ε 2 wie oben angegeben, dann ist

  • h > 0 genau dann, wenn ε 2 in dem Halbraum bezüglich ε 1 liegt, in den der Normalenvektor n 1 von ε 1 zeigt;
  • h < 0 genau dann, wenn ε 2 in dem Halbraum bezüglich ε 1 liegt, in den der Normalenvektor n 1 von ε 1 nicht zeigt;
  • h = 0 genau dann, wenn ε 1 = ε 2 gilt.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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