Schnittwinkel zweier Ebenen

Schnittwinkel zweier Ebenen

Durch diese Überlegung wird die Frage nach dem Schnittwinkel zweier Ebenen auf das einfachere Problem des Schnittwinkels zweier Geraden im Raum zurückgeführt.

Zur rechnerischen Bestimmung des Schnittwinkels betrachtet man zwei Normalenvektoren n1undn2 der Ebenen ε1undε2.

Da n1 senkrecht zu ε1 und n2 senkrecht zu ε2 verläuft, ist der von n1undn2 gebildete Winkel gleich dem Schnittwinkel ϕ (bzw. 180° – ϕ).

Der Schnittwinkel ϕ kann aus diesem Grund durch Anwendung der Definitionsgleichung für das Skalarprodukt auf die beiden Normalenvektoren n1undn2 berechnet werden.

Die Gleichungen für n1undn2 gewinnt man aus den Ebenengleichungen:

  • Hat die Ebene ε die Gleichung ε:x=p0+ru+sv, so ist n=u×v ein Normalenvektor von ε. Ist die Gleichung von ε in der Koordinatenschreibweise, also ax+by+cz+d=0, angegeben, dann gilt
    n=(abc).

Aus n1n2=|n1||n2|cos(n1,n2) erhält man
cos(n1,n2)=n1n2|n1||n2|.

Beispiel 1: Es ist der Schnittwinkel der Ebenen ε1undε2 mit ε1:2x+y+2z8=0 bzw. ε2:6x3y+2z12=0 zu bestimmen.

Aus den beiden Gleichungen kann man ablesen:
n1=(212), n2=(632)

Daraus ergibt sich
cos(n1,n2)=cosϕ=(212)(632)|(212)||(632)|=13370,6190
und damit ϕ51,75°.

Beispiel 2: Durch A(6; 0; 0), B(0; 8; 0) und C(0; 0; 2) ist eine Ebene gegeben.
Es sind die Schnittwinkel dieser Ebene mit den Koordinatenebenen zu bestimmen.

Nach der Achsenabschnittsgleichung für Ebenen hat ε die Gleichung ε:x6+y8+z2=1, woraus sich ε:4x+3y+12z24=0 und damit
n=(4312)
für einen Normalenvektor von ε ergibt.

Die Normalenvektoren der drei Koordinatenebenen sind
nxy=(001),nxz=(010)undnyz=(100).

Unter Verwendung der oben angegebenen Formel erhält man hieraus
cosϕxy=(4312)(001)|(4312)||(001)|=12130,9230unddamitϕxy22,62°;
cosϕxz=313unddamitϕxz76,66°;cosϕyz=413unddamitϕyz72,08°.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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