Schnittwinkel zweier Ebenen

Durch diese Überlegung wird die Frage nach dem Schnittwinkel zweier Ebenen auf das einfachere Problem des Schnittwinkels zweier Geraden im Raum zurückgeführt.

Zur rechnerischen Bestimmung des Schnittwinkels betrachtet man zwei Normalenvektoren $\overrightarrow{n}{}_{1}und\overrightarrow{n}{}_2$ der Ebenen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$.

Da $\overrightarrow{n}{}_1$ senkrecht zu ${\epsilon }_1$ und $\overrightarrow{n}{}_2$ senkrecht zu ${\epsilon }_2$ verläuft, ist der von $\overrightarrow{n}{}_{1}und\overrightarrow{n}{}_2$ gebildete Winkel gleich dem Schnittwinkel $\varphi$ (bzw. 180° – $\varphi$).

Der Schnittwinkel $\varphi$ kann aus diesem Grund durch Anwendung der Definitionsgleichung für das Skalarprodukt auf die beiden Normalenvektoren $\overrightarrow{n}{}_{1}und\overrightarrow{n}{}_2$ berechnet werden.

Die Gleichungen für $\overrightarrow{n}{}_{1}und\overrightarrow{n}{}_2$ gewinnt man aus den Ebenengleichungen:

• Hat die Ebene $\epsilon$ die Gleichung $\epsilon :\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+r\overrightarrow{u}+s\overrightarrow{v}$, so ist $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$ ein Normalenvektor von $\epsilon$. Ist die Gleichung von $\epsilon$ in der Koordinatenschreibweise, also $ax+by+cz+d=0$, angegeben, dann gilt
  $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$.

Aus $\overrightarrow{n}{}_1\cdot \overrightarrow{n}{}_2=\left|\overrightarrow{n}{}_1\right|\cdot \left|\overrightarrow{n}{}_2\right|\cdot \cos \measuredangle \left(\overrightarrow{n}{}_1,\overrightarrow{n}{}_2\right)$ erhält man
$\cos \measuredangle \left(\overrightarrow{n}{}_1,\overrightarrow{n}{}_2\right)=\frac{\overrightarrow{n}{}_1\cdot \overrightarrow{n}{}_2}{\left|\overrightarrow{n}{}_1\right|\cdot \left|\overrightarrow{n}{}_2\right|}$.

Beispiel 1: Es ist der Schnittwinkel der Ebenen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ mit ${\epsilon }_1:2x+y+2z-8=0$ bzw. ${\epsilon }_2:6x-3y+2z-12=0$ zu bestimmen.

Aus den beiden Gleichungen kann man ablesen:
$\overrightarrow{n}{}_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)$, $\overrightarrow{n}{}_2=\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 2\end{array}\right)$

Daraus ergibt sich
$\cos \measuredangle \left(\overrightarrow{n}{}_1,\overrightarrow{n}{}_2\right)=\cos \varphi =\frac{\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 2\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ 2\end{array}\right)\right|}=\frac{13}{3\cdot 7}\approx \mathrm{0,6190}$
und damit $\varphi \approx \mathrm{51,75}°$.

(Hinweis: Ist der Winkel, der sich ergibt, größer als 90°, berechnet man den Schnittwinkel, indem man den berechneten Winkel von 180° subtrahiert.)

Beispiel 2: Durch A(6; 0; 0), B(0; 8; 0) und C(0; 0; 2) ist eine Ebene gegeben.
Es sind die Schnittwinkel dieser Ebene mit den Koordinatenebenen zu bestimmen.

Nach der Achsenabschnittsgleichung für Ebenen hat $\epsilon$ die Gleichung $\epsilon :\frac{x}{6}+\frac{y}{8}+\frac{z}{2}=1$, woraus sich $\epsilon :4x+3y+12z-24=0$ und damit
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 12\end{array}\right)$
für einen Normalenvektor von $\epsilon$ ergibt.

Die Normalenvektoren der drei Koordinatenebenen sind
${\overrightarrow{n}}_{xy}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\overrightarrow{n}}_{xz}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)und{\overrightarrow{n}}_{yz}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Unter Verwendung der oben angegebenen Formel erhält man hieraus
$\cos {\varphi }_{xy}=\frac{\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 12\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 12\end{array}\right)\right|\cdot \left|\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\right|}=\frac{12}{13}\approx \mathrm{0,9230}unddamit{\varphi }_{xy}\approx \mathrm{22,62}°$;
$\begin{array}{l}\cos {\varphi }_{xz}=\frac{3}{13}unddamit{\varphi }_{xz}\approx \mathrm{76,66}°;\\ \cos {\varphi }_{yz}=\frac{4}{13}unddamit{\varphi }_{yz}\approx \mathrm{72,08}°.\end{array}$

(Hinweis: Ist der Winkel, der sich ergibt, größer als 90°, berechnet man den Schnittwinkel, indem man den berechneten Winkel von 180° subtrahiert.)