Schnittwinkel zweier Geraden im Raum

Schnittwinkel zweier Geraden im Raum

Schnittwinkel zweier Geraden im Raum

Der Schnittwinkel zweier Geraden im Raum kann demzufolge höchstens 90° betragen. In diesem Grenzfall heißen g1undg2zueinander senkrecht bzw. orthogonal.

Um zu überprüfen, ob zwei durch ihre vektoriellen Gleichungen gegebenen Geraden g1undg2 zueinander orthogonal sind bzw. um die Gleichung einer Geraden g2 zu ermitteln, die zu der gegebenen Geraden g1 senkrecht ist, kann man eine Eigenschaft des Skalarprodukts zweier Vektoren verwenden:

  • Zwei Vektoren aundb sind genau dann zueinander senkrecht, wenn ab=0 gilt.

Beispiel 1: Wir betrachten im Raum die beiden Geraden g1undg2 mit den Gleichungen
g1:x=(021)+t1(231)
bzw.
g2:x=(165)+t2(313),
die einander im Punkt S(2; 5; 2) schneiden (denn für t1=t2=1 erhält man übereinstimmend
x1=(252)).

Diese beiden Geraden sind genau dann senkrecht zueinander, wenn dies für ihre Richtungsvektoren
a1=(231) und a2=(313)
zutrifft. Da
(231)(313)=23+3(1)+1(3)=0,
sind a1unda2 sowie damit auch g1undg2 senkrecht zueinander.

Beispiel 2: Zu einer Geraden g1 im Raum gibt es in jedem Punkt von g1 unendlich viele Geraden, die senkrecht zu g1 sind.

Büschel der Senkrechten zu einer Geraden

Büschel der Senkrechten zu einer Geraden

Rechnerisch findet dies folgendermaßen seinen Ausdruck:
Ist die Gerade g1 beispielsweise durch
g1:x=(021)+t1(231)
gegeben, so muss für jede Gerade g durch
p0=(021) mit g:x=(021)+t(a1a2a3),
die senkrecht zu g1 verlaufen soll, gelten:
(231)(a1a2a3)=0

Daraus folgt 2a1+3a2+a3=0bzw.beispielsweisea3=2a13a2.
Die Parameter a1unda2 können frei gewählt werden.
Das heißt aber: Jede Gerade g mit
g:x=(021)+t(a1a22a13a2)(a1,a2)
verläuft in P0 senkrecht zu g1.

Unter Verwendung der Definitionsgleichung für das Skalarprodukt kann der Schnittwinkel zweier beliebiger (einander schneidender) Geraden g1undg2 des Raumes als Winkel zwischen den Richtungsvektoren aundb dieser Geraden berechnet werden.

  • Gilt g1:x=p1+taundg2:x=p2+tb, so folgt wegen ab=|a||b|cosψ(mitψ=(a,b)) für den Schnittwinkel ψ:cosψ=ab|a||b|

Beispiel 3: Es ist der Schnittwinkel der Geraden
g:x=(111)+t(222)undh:x=(220)+u(330)
(die einander im Punkt O(0; 0; 0) schneiden) zu berechnen.

Wegen cosψ=(222)(330)|(222)||(330)|=121218=630,8165 gilt ψ35,26°.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

Learnattack

Gemeinsam zu besseren Noten!Kooperation mit Duden Learnattack

Lernvideos, interaktive Übungen und WhatsApp-Nachhilfe – jetzt Duden Learnattack 48 Stunden kostenlos testen.

Du wirst automatisch zu Learnattack weitergeleitet.
Lexikon Share
Beliebte Artikel
alle anzeigen

Einloggen