Schnittwinkel zweier Geraden im Raum

Schnittwinkel zweier Geraden im Raum

Schnittwinkel zweier Geraden im Raum

Der Schnittwinkel zweier Geraden im Raum kann demzufolge höchstens 90° betragen. In diesem Grenzfall heißen g 1 u n d g 2 zueinander senkrecht bzw. orthogonal.

Um zu überprüfen, ob zwei durch ihre vektoriellen Gleichungen gegebenen Geraden g 1 u n d g 2 zueinander orthogonal sind bzw. um die Gleichung einer Geraden g 2 zu ermitteln, die zu der gegebenen Geraden g 1 senkrecht ist, kann man eine Eigenschaft des Skalarprodukts zweier Vektoren verwenden:

  • Zwei Vektoren a u n d b sind genau dann zueinander senkrecht, wenn a b = 0 gilt.

Beispiel 1: Wir betrachten im Raum die beiden Geraden g 1 u n d g 2 mit den Gleichungen
g 1 : x = ( 0 2 1 ) + t 1 ( 2 3 1 )
bzw.
g 2 : x = ( 1 6 5 ) + t 2 ( 3 1 3 ) ,
die einander im Punkt S(2; 5; 2) schneiden (denn für t 1 = t 2 = 1 erhält man übereinstimmend
x 1 = ( 2 5 2 ) ).

Diese beiden Geraden sind genau dann senkrecht zueinander, wenn dies für ihre Richtungsvektoren
a 1 = ( 2 3 1 ) und a 2 = ( 3 1 3 )
zutrifft. Da
( 2 3 1 ) ( 3 1 3 ) = 2 3 + 3 ( 1 ) + 1 ( 3 ) = 0 ,
sind a 1 u n d a 2 sowie damit auch g 1 u n d g 2 senkrecht zueinander.

Beispiel 2: Zu einer Geraden g 1 im Raum gibt es in jedem Punkt von g 1 unendlich viele Geraden, die senkrecht zu g 1 sind.

Büschel der Senkrechten zu einer Geraden

Büschel der Senkrechten zu einer Geraden

Rechnerisch findet dies folgendermaßen seinen Ausdruck:
Ist die Gerade g 1 beispielsweise durch
g 1 : x = ( 0 2 1 ) + t 1 ( 2 3 1 )
gegeben, so muss für jede Gerade g durch
p 0 = ( 0 2 1 ) mit g : x = ( 0 2 1 ) + t ( a 1 a 2 a 3 ) ,
die senkrecht zu g 1 verlaufen soll, gelten:
( 2 3 1 ) ( a 1 a 2 a 3 ) = 0

Daraus folgt 2 a 1 + 3 a 2 + a 3 = 0 b z w . b e i s p i e l s w e i s e a 3 = 2 a 1 3 a 2 .
Die Parameter a 1 u n d a 2 können frei gewählt werden.
Das heißt aber: Jede Gerade g mit
g : x = ( 0 2 1 ) + t ( a 1 a 2 2 a 1 3 a 2 ) ( a 1 , a 2 )
verläuft in P 0 senkrecht zu g 1 .

Unter Verwendung der Definitionsgleichung für das Skalarprodukt kann der Schnittwinkel zweier beliebiger (einander schneidender) Geraden g 1 u n d g 2 des Raumes als Winkel zwischen den Richtungsvektoren a u n d b dieser Geraden berechnet werden.

  • Gilt g 1 : x = p 1 + t a u n d g 2 : x = p 2 + t b , so folgt wegen a b = | a | | b | cos ψ ( m i t ψ = ( a , b ) ) für den Schnittwinkel ψ : cos ψ = a b | a | | b |

Beispiel 3: Es ist der Schnittwinkel der Geraden
g : x = ( 1 1 1 ) + t ( 2 2 2 ) u n d h : x = ( 2 2 0 ) + u ( 3 3 0 )
(die einander im Punkt O(0; 0; 0) schneiden) zu berechnen.

Wegen cos ψ = ( 2 2 2 ) ( 3 3 0 ) | ( 2 2 2 ) | | ( 3 3 0 ) | = 12 12 18 = 6 3 0,8165 gilt ψ 35,26 ° .

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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