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Multiplikation von Matrizen

Neben der Vielfachbildung von Matrizen, d.h. der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl (einem Skalar), ist es auch möglich, eine Matrix mit einem Vektor bzw. zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren.
Im Gegensatz zur Vielfachbildung sind diese Multiplikationen allerdings an bestimmte Voraussetzungen hinsichtlich des Typs der Matrizen bzw. der Dimension des Vektors gebunden.

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Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Formale Voraussetzung für die Multiplikation einer Matrix mit einem (Spalten-)vektor ist, dass die Anzahl der Spalten der Matrix mit der Elementenzahl (Zeilenanzahl) des Vektors übereinstimmt:
     A = ( a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a m 1 a m 2 ... a m n ) ;     b → = ( b 1 b 2 ... b n )

Das Produkt A   b → ist dann ein Vektor mit m Elementen, die wie folgt gebildet werden:
       c 1 = a 11 b 1 + a 12 b 2 + a 13 b 3 + ... + a 1 n b n c 2 = a 21 b 1 + a 22 b 2 + a 23 b 3 + ... + a 2 n b n ...                     ...     c m = a m 1 b 1 + a m 2 b 2 + a m 3 b 3 + ... + a m n b n

oder kurz
  c i = ∑ j = 1 n a i j b j     ( m i t       i = 1,     2,     ...,     m )

Anmerkung: Jedes Element c i des Vektors c → = A   b → ist das Skalarprodukt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem Spaltenvektor b → .

  • Beispiel 1: Die Matrix A = ( 3 4 −   5 2 1 0 ) ist mit dem Vektor b → = ( 4 2 3 ) zu multiplizieren.

Die formalen Voraussetzungen sind erfüllt: Die Anzahl der Spalten von A und die Anzahl der Elemente von b → stimmen überein.
Es ist:
     c 1 = 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 + ( −   5 ) ⋅ 3 = 5 c 2 = 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 = 10 }       ⇒       c → = ( 5 10 )

Multiplikation zweier Matrizen

Das Produkt der ( m × n ) -Matrix       A und der ( p × q ) -Matrix       B kann nur für n = p gebildet werden (d.h., die Matrizen müssen verkettet sein). Die Produktmatrix C hat ist dann vom Typ ( m ,   q ) und entsteht durch mehrfache Multiplikation von Matrix und Vektor.

  • Beispiel 2: Die Matrix A = ( 3 4 −   5 2 1 0 ) ist mit der Matrix B = ( 4 1 3 2 0 1 3 4 5 ) zu multiplizieren.

Es ist:
  c 11 = 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 + ( −   5 ) ⋅ 3 = 5 c 12 = 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0 + ( −   5 ) ⋅ 4 = −   17 c 13 = 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 1 + ( −   5 ) ⋅ 5 = −   12     c 21 = 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 = 10 c 22 = 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 4 = 2 c 23 = 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 5 = 7

Die Produktmatrix hat also folgende Gestalt:
  C = ( 5 −   17 −   12 10 2 7 )

Eine weitere Möglichkeit des Berechnens der Produktmatrix bietet die folgende (als falksches Schema bezeichnete) Darstellung.
Bild

  • Beispiel 3: Die Matrizen A = ( 3 −   5 1 2 4 −   2 5 3 1 2 9 12 − 7 6 )       u n d       B = ( 1 6 5 2 − 1 4 0 1 ) sind mithilfe des falkschen Schemas zu multiplizieren.

Die Verknüpfbarkeitsbedingungen sind erfüllt. Es gilt n = p = 4.
Das Produkt A ⋅ B wird nun mit dem obigen Schema berechnet:

Bild

Zur Überprüfen der Rechnung kann die Zeilensummenprobe dienen:
(1) Man bildet k 1 → als Vektor der Zeilensummen von B.
(2) Man berechnet A   k 1 → = k → .
(3) Man vergleicht k → mit dem Vektor der Zeilensummen von C.
Die Produktmatrix ergibt sich also als
C = ( −   22,5 14 20 10,5 76 56 ) .

Die Matrizenmultiplikation hat folgende Eigenschaften:

  1. Die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ (Ausnahme z.B. die Multiplikation mit der Einheitsmatrix).
  2. Bei Erfüllung der Verknüpfbarkeitsbedingungen ist die Multiplikation assoziativ:
    ( A   B ) C = A ( B   C )
  3. Bei Erfüllung der Verknüpfbarkeitsbedingungen gelten die Distributivgesetze: ( A + B ) C = A   B + B   C   u n d       A ( B + C ) = A   B + A   C
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Multiplikation von Matrizen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/multiplikation-von-matrizen (Abgerufen: 20. May 2025, 08:07 UTC)

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