Multiplikation von Matrizen

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Formale Voraussetzung für die Multiplikation einer Matrix mit einem (Spalten-)vektor ist, dass die Anzahl der Spalten der Matrix mit der Elementenzahl (Zeilenanzahl) des Vektors übereinstimmt:
$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \mathrm{...}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \mathrm{...}& a_{2n}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ a_{m1}& a_{m2}& \mathrm{...}& a_{mn}\end{array}\right);\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ \mathrm{...}\\ b_n\end{array}\right)$

Das Produkt $A\overrightarrow{b}$ ist dann ein Vektor mit m Elementen, die wie folgt gebildet werden:
$\begin{array}{c} c_1=a_{11}{b}_1+a_{12}{b}_2+a_{13}{b}_3+\mathrm{...}+a_{1n}{b}_n\\ c_2=a_{21}{b}_1+a_{22}{b}_2+a_{23}{b}_3+\mathrm{...}+a_{2n}{b}_n\\ \mathrm{...}\mathrm{...}\\ c_m=a_{m1}{b}_1+a_{m2}{b}_2+a_{m3}{b}_3+\mathrm{...}+a_{mn}{b}_n\end{array}$

oder kurz
$c_i={\displaystyle \sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_j}\left(miti=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}m\right)$

Anmerkung: Jedes Element $c_i$ des Vektors $\overrightarrow{c}=A\overrightarrow{b}$ ist das Skalarprodukt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem Spaltenvektor $\overrightarrow{b}.$

• Beispiel 1: Die Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& -5\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$ ist mit dem Vektor $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ zu multiplizieren.

Die formalen Voraussetzungen sind erfüllt: Die Anzahl der Spalten von A und die Anzahl der Elemente von $\overrightarrow{b}$ stimmen überein.
Es ist:
$\begin{array}{c}{c}_1=3\cdot 4+4\cdot 2+\left(-5\right)\cdot 3=5\\ c_2=2\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 3=10\end{array}\}\Rightarrow \overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}5\\ 10\end{array}\right)$

Multiplikation zweier Matrizen

Das Produkt der $\left(m\times n\right)\text{-Matrix}A$ und der $\left(p\times q\right)\text{-Matrix}B$ kann nur für $n=p$ gebildet werden (d.h., die Matrizen müssen verkettet sein). Die Produktmatrix C hat ist dann vom Typ $\left(m,q\right)$ und entsteht durch mehrfache Multiplikation von Matrix und Vektor.

• Beispiel 2: Die Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& -5\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$ ist mit der Matrix $B=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 3\\ 2& 0& 1\\ 3& 4& 5\end{array}\right)$ zu multiplizieren.

Es ist:
$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{c}_{11}=3\cdot 4+4\cdot 2+\left(-5\right)\cdot 3=5\\ c_{12}=3\cdot 1+4\cdot 0+\left(-5\right)\cdot 4=-17\\ c_{13}=3\cdot 3+4\cdot 1+\left(-5\right)\cdot 5=-12\end{array}& \begin{array}{c}{c}_{21}=2\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 3=10\\ c_{22}=2\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 4=2\\ c_{23}=2\cdot 3+1\cdot 1+0\cdot 5=7\end{array}\end{array}$

Die Produktmatrix hat also folgende Gestalt:
$C=\left(\begin{array}{ccc}5& -17& -12\\ 10& 2& 7\end{array}\right)$

Eine weitere Möglichkeit des Berechnens der Produktmatrix bietet die folgende (als falksches Schema bezeichnete) Darstellung.

• Beispiel 3: Die Matrizen $A=\left(\begin{array}{cccc}3& -5& \frac{1}{2}& 4\\ -2& 5& 3& \frac{1}{2}\\ 9& 12& -7& 6\end{array}\right)undB=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\\ -1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$ sind mithilfe des falkschen Schemas zu multiplizieren.

Die Verknüpfbarkeitsbedingungen sind erfüllt. Es gilt $n=p=4.$
Das Produkt $A\cdot B$ wird nun mit dem obigen Schema berechnet:

Zur Überprüfen der Rechnung kann die Zeilensummenprobe dienen:
(1) Man bildet $\overrightarrow{k_1}$ als Vektor der Zeilensummen von B.
(2) Man berechnet $A\overrightarrow{k_1}=\overrightarrow{k}.$
(3) Man vergleicht $\overrightarrow{k}$ mit dem Vektor der Zeilensummen von C.
Die Produktmatrix ergibt sich also als
$C=\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{22,5}& 14\\ 20& \mathrm{10,5}\\ 76& 56\end{array}\right).$

Die Matrizenmultiplikation hat folgende Eigenschaften:

1. Die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ (Ausnahme z.B. die Multiplikation mit der Einheitsmatrix).
2. Bei Erfüllung der Verknüpfbarkeitsbedingungen ist die Multiplikation assoziativ:
   $\left(AB\right)C=A\left(BC\right)$
3. Bei Erfüllung der Verknüpfbarkeitsbedingungen gelten die Distributivgesetze:$\left(A+B\right)C=AB+BCundA\left(B+C\right)=AB+AC$