Multiplikation von Matrizen

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Formale Voraussetzung für die Multiplikation einer Matrix mit einem (Spalten-)vektor ist, dass die Anzahl der Spalten der Matrix mit der Elementenzahl (Zeilenanzahl) des Vektors übereinstimmt:
   A = ( a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a m 1 a m 2 ... a m n ) ; b = ( b 1 b 2 ... b n )

Das Produkt A b ist dann ein Vektor mit m Elementen, die wie folgt gebildet werden:
     c 1 = a 11 b 1 + a 12 b 2 + a 13 b 3 + ... + a 1 n b n c 2 = a 21 b 1 + a 22 b 2 + a 23 b 3 + ... + a 2 n b n ... ... c m = a m 1 b 1 + a m 2 b 2 + a m 3 b 3 + ... + a m n b n

oder kurz
c i = j = 1 n a i j b j ( m i t i = 1, 2, ..., m )

Anmerkung: Jedes Element c i des Vektors c = A b ist das Skalarprodukt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem Spaltenvektor b .

  • Beispiel 1: Die Matrix A = ( 3 4 5 2 1 0 ) ist mit dem Vektor b = ( 4 2 3 ) zu multiplizieren.

Die formalen Voraussetzungen sind erfüllt: Die Anzahl der Spalten von A und die Anzahl der Elemente von b stimmen überein.
Es ist:
   c 1 = 3 4 + 4 2 + ( 5 ) 3 = 5 c 2 = 2 4 + 1 2 + 0 3 = 10 } c = ( 5 10 )

Multiplikation zweier Matrizen

Das Produkt der ( m × n ) -Matrix A und der ( p × q ) -Matrix B kann nur für n = p gebildet werden (d.h., die Matrizen müssen verkettet sein). Die Produktmatrix C hat ist dann vom Typ ( m , q ) und entsteht durch mehrfache Multiplikation von Matrix und Vektor.

  • Beispiel 2: Die Matrix A = ( 3 4 5 2 1 0 ) ist mit der Matrix B = ( 4 1 3 2 0 1 3 4 5 ) zu multiplizieren.

Es ist:
c 11 = 3 4 + 4 2 + ( 5 ) 3 = 5 c 12 = 3 1 + 4 0 + ( 5 ) 4 = 17 c 13 = 3 3 + 4 1 + ( 5 ) 5 = 12 c 21 = 2 4 + 1 2 + 0 3 = 10 c 22 = 2 1 + 1 0 + 0 4 = 2 c 23 = 2 3 + 1 1 + 0 5 = 7

Die Produktmatrix hat also folgende Gestalt:
C = ( 5 17 12 10 2 7 )

Eine weitere Möglichkeit des Berechnens der Produktmatrix bietet die folgende (als falksches Schema bezeichnete) Darstellung.
Bild

  • Beispiel 3: Die Matrizen A = ( 3 5 1 2 4 2 5 3 1 2 9 12 7 6 ) u n d B = ( 1 6 5 2 1 4 0 1 ) sind mithilfe des falkschen Schemas zu multiplizieren.

Die Verknüpfbarkeitsbedingungen sind erfüllt. Es gilt n = p = 4.
Das Produkt A B wird nun mit dem obigen Schema berechnet:

Bild

Zur Überprüfen der Rechnung kann die Zeilensummenprobe dienen:
(1) Man bildet k 1 als Vektor der Zeilensummen von B.
(2) Man berechnet A k 1 = k .
(3) Man vergleicht k mit dem Vektor der Zeilensummen von C.
Die Produktmatrix ergibt sich also als
C = ( 22,5 14 20 10,5 76 56 ) .

Die Matrizenmultiplikation hat folgende Eigenschaften:

  1. Die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ (Ausnahme z.B. die Multiplikation mit der Einheitsmatrix).
  2. Bei Erfüllung der Verknüpfbarkeitsbedingungen ist die Multiplikation assoziativ:
    ( A B ) C = A ( B C )
  3. Bei Erfüllung der Verknüpfbarkeitsbedingungen gelten die Distributivgesetze: ( A + B ) C = A B + B C u n d A ( B + C ) = A B + A C

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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