Matrizen in der Volkswirtschaft (LEONTIEF-Modell)

Der Input stellt dabei das Aufkommen des jeweiligen Wirtschaftszweiges und der Output den Verbrauch dar. Das Prinzip ist anhand folgender Tabelle erkennbar.

Input/
Output
Landwirt-
schaft
IndustrieVerkehrKonsumGesamt-
produktion
Landwirt-
schaft
2 x 11 2 x 12 4 x 13 2 y 1 10 x 1
Industrie 4 x 21 2 x 22 2 x 23 6 y 2 14 x 2
Verkehrs-
wesen
4 x 31 2 x 32 2 x 33 4 y 3 12 x 3


Die Gesamtproduktion x i ergibt sich allgemein stets als Summe:
x i = x i 1 + x i 2 + x i 3 + ... + x i n + y i = ( j = 1 n x i j ) + y i
Die Werte x i j m i t i = j geben den Eigenbedarf des Wirtschaftszweiges an.

Als Verflechtungsdiagramm (Gozintograph) dargestellt ergibt sich das folgende Bild:

Bild

Anmerkung: Die Bezeichnung Gozinto ist dem Englischen entlehnt („the part that goes into“).

Auf obiges Beispiel bezogen gilt (in Matrizenform)
P = ( 2 2 4 4 2 2 4 2 2 ) u n d y = ( 2 6 4 ) ,
wobei P die Produktionsmatrix und y der Marktvektor ist.

Folgen, die durch Veränderung eines Wertes der Produktionsmatrix P oder des Marktvektors y hervorgerufen werden, erkennt man besser in der Verflechtungs- oder Technologiematrix.

Die Produktions- oder Technologiekoeffizienten a i j werden nach der Vorschrift a i j = x i j x j gebildet, also:
a 11 = 2 10 , a 12 = 2 14 = 1 7 , a 13 = 4 12 = 1 3 , ...

Die Technologiematrix A ergibt sich dann folgendermaßen:
A = ( 1 5 1 7 1 3 2 5 1 7 1 6 2 5 1 7 1 6 )

LEONTIEF stellte folgende Gleichungen zur Berechnung der Produktionszahlen bzw. des Marktaufkommens auf (die Produktionszahlen werden im Vektor x zusammengefasst):
y = ( E A ) x , a l s o x = ( E A ) 1 y ( E E i n h e i t s m a t r i x )

Nach LEONTIEF wird die Volkswirtschaft jeder externen Marktforderung gerecht, wenn die Matrix ( E A ) invertierbar ist und ( E A ) 1 keine negativen Koeffizienten enthält.

  • Beispiel: Drei Zweigbetriebe A, B und C eines Konzerns sind nach dem LEONTIEF-Modell miteinander verknüpft. Die gegenwärtigen Produktionsdaten sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
    Mit welcher Produktion ist bei gleichbleibenden Rahmenbedingungen der geplante Marktvektor zu realisieren?
 ABCMarktProduktion
A80303060200
B20601060150
C030700100

Lösung:
Die Technologiematrix ist dann A = ( 0,4 0,2 0,3 0,1 0,4 0,1 0 0,2 0,7 ) .
Daraus folgt ( E A ) = ( 0,6 0,2 0,3 0,1 0,6 0,1 0 0,2 0,7 ) ,
und für die neuen Produktionszahlen gilt:
     x = ( 0,6 0,2 0,3 0,1 0,6 0,1 0 0,2 0,7 ) 1 ( 41 42 5 ) = ( 1,905 1,429 2,381 0,357 2,143 1,071 0,238 1,429 4,048 ) ( 41 42 5 ) = ( 150 110 90 )

Wenn also durch den Betrieb A 150, durch B 110 und durch C 90 Produkteinheiten hergestellt werden, kann die neue Forderung des Marktes erfüllt werden.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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