Lineare Abbildungen

Als Beispiele linearer Abbildungen seien hier genannt:

  1. die Matrix-Vektor-Produkte mit
    A ( a + b ) = A a + A b u n d A ( r a ) = r A a
  2. die Bildung der Ableitungen differenzierbarer Funktionen f und g mit
    ( f + g ) ' = f ' + g ' u n d ( r f ) ' = r f '

Von den linearen Funktionen der Analysis y = f ( x ) = m x + n besitzen die oben genannten Linearitätseigenschaften nur die, bei denen n = 0 ist, also die Funktionen, deren Graph eine Ursprungsgerade ist.

Bei der Funktion y = f ( x ) = 3 x + 2 hingegen wäre f ( x 1 + x 2 ) = 3 ( x 1 + x 2 ) + 2 = 3 x 1 + 3 x 2 + 2, aber f ( x 1 ) + f ( x 2 ) = 3 x 1 + 2 + 3 x 2 + 2 = 3 x 1 + 3 x 2 + 4.

Matrixschreibweise

Eine lineare Abbildung eines Raumes n in einen Raum m mit n < m kann als Matrix geschrieben werden.

  • Beispiel: f sei eine lineare Abbildung von 2 i n 3 .

Der Vektor x = ( x 1 x 2 ) wird als Linearkombination der Basisvektoren e 1 = ( 1 0 ) u n d e 2 = ( 0 1 ) geschrieben.

Damit gilt x = x 1 e 1 + x 2 e 2 .

Da f eine lineare Abbildung ist, gilt:
f ( x 1 e 1 + x 2 e 2 ) = x 1 f ( e 1 ) + x 2 f ( e 2 )

Die Bilder der Basisvektoren e 1 u n d e 2 sind Vektoren des 3 mit
f ( e 1 ) = ( a 1 a 2 a 3 ) u n d f ( e 2 ) = ( b 1 b 2 b 3 ) .

Damit gilt:
f ( x ) = x 1 ( a 1 a 2 a 3 ) + x 2 ( b 1 b 2 b 3 ) = ( a 1 x 1 + b 1 x 2 a 2 x 1 + b 2 x 2 a 3 x 1 + b 3 x 2 ) = ( a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ) ( x 1 x 2 ) = ( a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ) x      

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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