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Lineare Abbildungen

Eine Abbildung f vom Vektorraum V 1 in den Vektorraum V 2 heißt genau dann linear, wenn für alle a → ,   b → ∈ V 1 und r ∈ ℝ gilt:
  (   1   ) f ( a → + b → ) = f ( a → ) + f ( b → )   ( f       i s t       a d d i t i v )   ( 2 ) f ( r a → ) = r f ( a → )   ( f       i s t       hom o g e n )       
 

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Als Beispiele linearer Abbildungen seien hier genannt:

  1. die Matrix-Vektor-Produkte mit
    A ⋅ ( a → + b → ) = A ⋅ a → + A ⋅ b →   u n d A ⋅ ( r a → ) = r A ⋅ a →
  2. die Bildung der Ableitungen differenzierbarer Funktionen f und g mit
    ( f + g ) ' = f ' + g '   u n d ( r ⋅ f ) ' = r ⋅ f '

Von den linearen Funktionen der Analysis y = f ( x ) = m x + n besitzen die oben genannten Linearitätseigenschaften nur die, bei denen n = 0 ist, also die Funktionen, deren Graph eine Ursprungsgerade ist.

Bei der Funktion y = f ( x ) = 3 x + 2 hingegen wäre f ( x 1 + x 2 ) = 3 ( x 1 + x 2 ) + 2 = 3 x 1 + 3 x 2 + 2, aber f ( x 1 ) + f ( x 2 ) = 3 x 1 + 2 + 3 x 2 + 2 = 3 x 1 + 3 x 2 + 4.

Matrixschreibweise

Eine lineare Abbildung eines Raumes ℝ n in einen Raum ℝ m mit n < m kann als Matrix geschrieben werden.

  • Beispiel: f sei eine lineare Abbildung von ℝ 2       i n       ℝ 3 .

Der Vektor x → = ( x 1 x 2 ) wird als Linearkombination der Basisvektoren e 1 → = ( 1 0 )       u n d       e 2 → = ( 0 1 ) geschrieben.

Damit gilt x → = x 1 e 1 → + x 2 e 2 → .

Da f eine lineare Abbildung ist, gilt:
  f ( x 1 e 1 → + x 2 e 2 → ) = x 1 f ( e 1 → ) + x 2 f ( e 2 → )

Die Bilder der Basisvektoren e 1 →       u n d       e 2 → sind Vektoren des ℝ 3 mit
f ( e 1 → ) = ( a 1 a 2 a 3 )       u n d       f ( e 2 → ) = ( b 1 b 2 b 3 ) .

Damit gilt:
  f ( x → ) = x 1 ( a 1 a 2 a 3 ) + x 2 ( b 1 b 2 b 3 ) = ( a 1 x 1 + b 1 x 2 a 2 x 1 + b 2 x 2 a 3 x 1 + b 3 x 2 ) = ( a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ) ⋅ ( x 1 x 2 ) = ( a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ) ⋅ x →     

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Lineare Abbildungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/lineare-abbildungen (Abgerufen: 19. May 2025, 16:11 UTC)

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