Addition und Vielfachbildung von Matrizen

Addition von Matrizen

Die Addition von (zwei) Matrizen gleichen Typs (also Matrizen gleicher Zeilen- und gleicher Spaltenzahl) erfolgt durch die Addition entsprechender Elemente.

  • Definition:     A = ( a i k ) u n d B = ( b i k ) seien ( m × n ) -Matrizen ,
    d.h. Matrizen vom Typ ( m , n ) .
    Dann versteht man unter ihrer Summe A + B eine Matrix C mit folgender Eigenschaft:
    A + B = C = ( a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a m 1 a m 2 ... a m n ) + ( b 11 b 12 ... b 1 n b 21 b 22 ... b 2 n ... ... ... ... b m 1 b m 2 ... b m n ) = ( a 11 + b 11 a 12 + b 12 ... a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 ... a 2 n + b n ... ... ... ... a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 ... a m n + b m n )

Die Summe A + B = C = ( c i k ) ist (wieder) eine Matrix vom Typ ( m , n ) mit c i k = a i k + b i k .

  • Beispiel 1: Gegeben sind die Matrizen
    A = ( 3 4 5 2 1 0 ) u n d B = ( 2 3 6 0 4 1 ) .
    Die Summe ergibt sich dann wie folgt:
    A + B = ( 3 + 2 4 3 5 + 6 2 + 0 1 + 4 0 + 1 ) = ( 5 1 1 2 5 1 ) = C

Eigenschaften der Addition von Matrizen gleichen Typs:

  1. Die Addition ist kommutativ, d.h., es gilt:
    A + B = B + A
  2. Die Addition ist assoziativ, d.h., es gilt:
    A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
  3. Die Addition ist umkehrbar, d.h., es gilt:
    A + B = C B = C A

Skalare Vervielfachung einer Matrix (Multiplikation mit einer reellen Zahl)

Man erhält das skalare Vielfache einer Matrix, indem man jedes Element der Matrix mit dem betreffenden Skalar multipliziert.

  • Definition: Sei A = ( a i k ) eine ( m × n ) -Matrix und r eine reelle Zahl. Dann versteht man unter dem Vielfachen r A der Matrix A eine Matrix C mit folgender Eigenschaft:
    r A = C = r ( a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a m 1 a m 2 ... a m n ) = ( r a 11 r a 12 ... r a 1 n r a 21 r a 22 ... r a 2 n ... ... ... ... r a m 1 r a m 2 ... r a m n )
    Anmerkung: Man spricht auch von der S-Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl.

Das Vielfache r A = C = ( c i k ) ist (wieder) eine Matrix vom Typ ( m , n ) . Wegen r a i k = a i k r versteht man unter A r die Matrix r A .

  • Beispiel 2: Es sei A = ( 3 4 5 2 1 0 ) u n d r = 5.
    Dann ist:
    5 A = 5 ( 3 4 5 2 1 0 ) = ( 5 3 5 4 5 ( 5 ) 5 2 5 1 5 0 ) = ( 15 20 25 10 5 0 )

Die skalare Vervielfachung hat folgende Eigenschaften:

  1. r ( s A ) = ( r s ) A
  2. ( r + s ) A = r A + s A
  3. r ( A + B ) = r A + r B

Unter Nutzung der Vervielfachung kann die Subtraktion von Matrizen (gleichen Typs) folgendermaßen auf die Addition zurückgeführt werden:

A B = A + ( 1 ) B = ( a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a m 1 a m 2 ... a m n ) + ( b 11 b 12 ... b 1 n b 21 b 22 ... b 2 n ... ... ... ... b m 1 b m 2 ... b m n ) = ( a 11 b 11 a 12 b 12 ... a 1 n b 1 n a 21 b 21 a 22 b 22 ... a 2 n b n ... ... ... ... a m 1 b m 1 a m 2 b m 2 ... a m n b m n )

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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