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Matrizengleichungen

Eine Gleichung, bei der die Elemente einer unbekannten Matrix zu bestimmen sind, heißt Matrizengleichung. Die Lösungen der Grundgleichungen   A ⋅ X = B ,       X ⋅ A = B       b z w .       A ⋅ X ⋅ B = C können sofort angegeben werden. Kompliziertere Gleichungen lassen sich mittels der Matrizenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation (evtl. mit der inversen Matrix) in Grundgleichungen überführen.

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(Hinreichende) Bedingungen für die eindeutige Lösbarkeit sind:

  1. die Matrizen A, B, C und D sind quadratisch
  2. die Matrizen A, B, C und D sind quadratisch invertierbar

Mittels der Matrizenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation (evtl. mit der inversen Matrix) sind die (in der folgenden Tabelle zusammengestellten) Grundgleichungen zu erzeugen.

Grundgleichung

Lösung

A ⋅ X = B X = A − 1 ⋅ B
X ⋅ A = B X = B ⋅ A − 1
A ⋅ X ⋅ B = C X = A − 1 ⋅ C ⋅ B − 1

Lösungen zu weiteren Gleichungstypen

Zusätzlich zur Invertierbarkeit der Matrizen A, B, C und D wird hier gefordert, dass die in der Lösungsspalte aufgeführten inversen Matrizen auch existieren. Dann sind auch die dazugehörigen Matrizengleichungen eindeutig lösbar.

Typische Gleichungen

Lösung

X ⋅ A ⋅ B − A − X ⋅ C = D
(X ist Linksfaktor)

 X = ( A + D ) ⋅ ( A ⋅ B − C ) − 1
A + B ⋅ X = C ⋅ X
(X ist Rechtsfaktor)		 X = ( C − B ) − 1 ⋅ A
A ⋅ B ⋅ X + X ⋅ C = D
(X ist Links- und Rechtsfaktor)		Diese Gleichung kann nicht nach X aufgelöst werden.
A ⋅ B + k   X = B
(X ist mit einem Skalar multipliziert)		 X = 1 k ( C − A ⋅ B )
A ⋅ X − k   X = B       o d e r       A ⋅ X − X   k = B X = ( A − k   E ) − 1 ⋅ B       bzw .       X = ( A − k   E ) − 1 ⋅ B
Die Multiplikation von einem Skalar mit einer Matrix ist kommutativ.
  • Beispiel: Es ist die Matrizengleichung A ⋅ X − C ⋅ B = X − D mit
    A = ( 5 7 5 −   4 2 1 23 6 −   5 ) ,   B = ( 3 0 3 2 23 6 22 3 −   7 ) ,   C = ( 24 3 −   3 0 −   5 8 26 −   3 14 ) ,   D = ( 18 3 −   3 0 −   7 8 26 −   3 18 )
    zu lösen.

Lösung:
  A ⋅ X − B ⋅ X = C − D ( A − B ) ⋅ X = C − D X = ( A − B ) − 1 ⋅ ( C − D )

Mit ( A − B ) − 1 = ( −   27 −   8 7 7 2 −   2 3 1 0 )
ergibt sich die Lösung X = ( −   162 −   16 −   28 42 4 8 18 2 0 ) .

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Matrizengleichungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/matrizengleichungen (Abgerufen: 29. April 2025, 10:50 UTC)

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