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Inversion von Matrizen

Um die Inverse einer Matrix zu bestimmen, gibt es zwei prinzipielle Verfahren (Möglichkeiten).
Beim GAUSS-JORDAN-Verfahren wird mithilfe elementarer Matrizenumformungen die Matrix gegen die Einheitsmatrix ausgetauscht wird.
Beim Austauschverfahren werden nach einem angegebenen Algorithmus die Zeile r und die Spalte s der Matrix vertauscht.

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Verfahren nach GAUSS-JORDAN

Die Lösungsstrategie besteht darin, dass mithilfe elementarer Matrizenumformungen (Vertauschen zweier Zeilen; Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor m ≠ 0 ; Addition zweier Zeilen bzw. deren Vielfachen) die Matrix gegen die Einheitsmatrix ausgetauscht wird.

Anmerkung: Der GAUSS-JORDAN-Algorithmus stellt eine Erweiterung des GAUSS-Algorithmus dar, er wurde nach dem französischen Mathematiker CAMILLE JORDAN (1838 bis 1922) benannt.

Beispiel: Zur Matrix M = ( 3 2 1 0 1 2 3 1 1 ) ist die Inverse zu berechnen.

In der folgenden Tabelle sind die Umformungsschritte dargestellt:

3 2 1 0 1 2 3 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I − I I I ⇒ I I I
3 2 1 0 1 2 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 −   1 I I − I I I ⇒ I I I
3 2 1 0 1 2 0 0 2 1 0 0 0 1 0 −   1 1 1 1 2 ⋅ I I I ⇒ I I I
3 2 1 0 1 2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 −   1 2 1 2 1 2 I I − 2 ⋅ I I I ⇒ I I
3 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 −   1 −   1 2 1 2 1 2 I − I I I ⇒ I
3 2 0 0 1 0 0 0 1 3 2 −   1 2 −   1 2 1 0 −   1 −   1 2 1 2 1 2 I − 2 ⋅ I I ⇒ I
3 0 0 0 1 0 0 0 1 −   1 2 −   1 2 3 2 1 0 −   1 −   1 2 1 2 1 2 1 3 ⋅ I ⇒ I
1 0 0 0 1 0 0 0 1 −   1 6 −   1 6 1 2 1 0 − 1 −   1 2 1 2 1 2 = M   −   1

Austauschverfahren ( A ( i ,   j ) ⇒ A ' ( j ,   i ) )

Die Lösungsstrategie besteht darin, dass die Zeile r und die Spalte s der Matrix vertauscht werden. Dabei gilt für

  1. das Hauptelement:
    a ' r s = 1 a r s     ( m i t       a r s ≠ 0 )
  2. die Elemente der Hauptzeile:
    a ' r   j = a r   j −   a r   s     ( f ü r       a l l e       j ≠ s )
  3. die Elemente der Hauptspalte:
    a ' i   s = a i   s a r   s     ( f ü r       a l l e       i ≠ r )
  4. alle übrigen Elemente:
    a ' i   j = a i   j + a ' r   j a i   r

Beispiel: Es ist die Inverse zur Matrix M = ( 1 −   2 1 0 1 2 1 −   1 2 ) zu berechnen.

1. Austauschschritt
(Zeile 3 gegen Spalte 1 mit dem Hauptelement a 31 ):

Anwendung der Transformationsregeln ergibt:
  Hauptelement a ' 31 = 1 1 = 1 a ' 21 = 0 1 = 0 Hauptzeile a ' 32 = −   1 −   1 = 1 a ' 33 = 2 −   1 = − 2 Hauptspalte a ' 11 = 1 1 = 1 a ' 13 = 1 + ( −   2 ) ⋅ ( −   1 ) = − 1 übrige Elemente   a ' 12 = −   2 + 1 ⋅ 1 = −   1   a ' 23 = 2 + ( −   2 ) ⋅ 0 = 2 a ' 22 = 1 + 1 ⋅ 0         
Ergebnis:

  Z 3 S 2 S 3
Z 1 1-1-1
Z 2 012
S 1 11-2

2. Austauschschritt:
(Zeile 2 gegen Spalte 2):

  Z 3 Z 2 S 3
Z 1 1-11
S 2 01-2
S 1 11-4

3. Austauschschritt
(Zeile 1 gegen Spalte 3):

  Z 3 Z 2 Z 1
S 3 -111
S 2 2-1-2
S 1 5-3-4

In der richtigen Anordnung von Zeilen und Spalten ergibt sich damit als inverse Matrix:
  M   −   1 = ( −   4 −   3 −   5 −   2 −   1 2 1 1 −   1 )

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Inversion von Matrizen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/inversion-von-matrizen (Abgerufen: 20. May 2025, 12:30 UTC)

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