Inversion von Matrizen

Um die Inverse einer Matrix zu bestimmen, gibt es zwei prinzipielle Verfahren (Möglichkeiten).
Beim GAUSS-JORDAN-Verfahren wird mithilfe elementarer Matrizenumformungen die Matrix gegen die Einheitsmatrix ausgetauscht wird.
Beim Austauschverfahren werden nach einem angegebenen Algorithmus die Zeile r und die Spalte s der Matrix vertauscht.

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Verfahren nach GAUSS-JORDAN

Die Lösungsstrategie besteht darin, dass mithilfe elementarer Matrizenumformungen (Vertauschen zweier Zeilen; Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor $m \neq 0$ ; Addition zweier Zeilen bzw. deren Vielfachen) die Matrix gegen die Einheitsmatrix ausgetauscht wird.

Anmerkung: Der GAUSS-JORDAN-Algorithmus stellt eine Erweiterung des GAUSS-Algorithmus dar, er wurde nach dem französischen Mathematiker CAMILLE JORDAN (1838 bis 1922) benannt.

Beispiel: Zur Matrix $M = (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix})$ ist die Inverse zu berechnen.

In der folgenden Tabelle sind die Umformungsschritte dargestellt:

$\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}$	$I - I I I \Rightarrow I I I$
$\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{matrix}$	$I I - I I I \Rightarrow I I I$
$\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix}$	$\frac{1}{2} \cdot I I I \Rightarrow I I I$
$\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}$	$I I - 2 \cdot I I I \Rightarrow I I$
$\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}$	$I - I I I \Rightarrow I$
$\begin{matrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}$	$I - 2 \cdot I I \Rightarrow I$
$\begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & 0 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}$	$\frac{1}{3} \cdot I \Rightarrow I$
$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}$	$= M^{- 1}$

Austauschverfahren $(A_{(i, j)} \Rightarrow A'_{(j, i)})$

Die Lösungsstrategie besteht darin, dass die Zeile r und die Spalte s der Matrix vertauscht werden. Dabei gilt für

das Hauptelement:
$a'_{r s} = \frac{1}{a_{r s}} (m i t a_{r s} \neq 0)$
die Elemente der Hauptzeile:
$a'_{r j} = \frac{a_{r j}}{- a_{r s}} (f ü r a l l e j \neq s)$
die Elemente der Hauptspalte:
$a'_{i s} = \frac{a_{i s}}{a_{r s}} (f ü r a l l e i \neq r)$
alle übrigen Elemente:
$a'_{i j} = a_{i j} + a'_{r j} a_{i r}$

Beispiel: Es ist die Inverse zur Matrix $M = (\begin{matrix} 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{matrix})$ zu berechnen.

1. Austauschschritt
(Zeile 3 gegen Spalte 1 mit dem Hauptelement $a_{31}$ ):

Anwendung der Transformationsregeln ergibt:
$\begin{matrix} Hauptelement & a'_{31} = \frac{1}{1} = 1 & a'_{21} = \frac{0}{1} = 0 \\ Hauptzeile & a'_{32} = \frac{- 1}{- 1} = 1 & a'_{33} = \frac{2}{- 1} = - 2 \\ Hauptspalte & a'_{11} = \frac{1}{1} = 1 & a'_{13} = 1 + (- 2) \cdot (- 1) = - 1 \\ übrige Elemente & a'_{12} = - 2 + 1 \cdot 1 = - 1 & a'_{23} = 2 + (- 2) \cdot 0 = 2 \\ a'_{22} = 1 + 1 \cdot 0 \end{matrix}$
Ergebnis:

	$Z_{3}$	$S_{2}$	$S_{3}$
$Z_{1}$	1	-1	-1
$Z_{2}$	0	1	2
$S_{1}$	1	1	-2

2. Austauschschritt:
(Zeile 2 gegen Spalte 2):

	$Z_{3}$	$Z_{2}$	$S_{3}$
$Z_{1}$	1	-1	1
$S_{2}$	0	1	-2
$S_{1}$	1	1	-4

3. Austauschschritt
(Zeile 1 gegen Spalte 3):

	$Z_{3}$	$Z_{2}$	$Z_{1}$
$S_{3}$	-1	1	1
$S_{2}$	2	-1	-2
$S_{1}$	5	-3	-4

In der richtigen Anordnung von Zeilen und Spalten ergibt sich damit als inverse Matrix:
$M^{- 1} = (\begin{matrix} - 4 & - 3 & - 5 \\ - 2 & - 1 & 2 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix})$

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Inversion von Matrizen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/inversion-von-matrizen (Abgerufen: 29. April 2025, 14:43 UTC)

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