Inversion von Matrizen

Um die Inverse einer Matrix zu bestimmen, gibt es zwei prinzipielle Verfahren (Möglichkeiten).
Beim GAUSS-JORDAN-Verfahren wird mithilfe elementarer Matrizenumformungen die Matrix gegen die Einheitsmatrix ausgetauscht wird.
Beim Austauschverfahren werden nach einem angegebenen Algorithmus die Zeile r und die Spalte s der Matrix vertauscht.

Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Jetzt 30 Tage risikofrei testen

Verfahren nach GAUSS-JORDAN

Die Lösungsstrategie besteht darin, dass mithilfe elementarer Matrizenumformungen (Vertauschen zweier Zeilen; Multiplikation einer Zeile mit einem Faktor $m \neq 0$ ; Addition zweier Zeilen bzw. deren Vielfachen) die Matrix gegen die Einheitsmatrix ausgetauscht wird.

Anmerkung: Der GAUSS-JORDAN-Algorithmus stellt eine Erweiterung des GAUSS-Algorithmus dar, er wurde nach dem französischen Mathematiker CAMILLE JORDAN (1838 bis 1922) benannt.

Beispiel: Zur Matrix $M = (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix})$ ist die Inverse zu berechnen.

In der folgenden Tabelle sind die Umformungsschritte dargestellt:

$\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}$	$I - I I I \Rightarrow I I I$
$\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{matrix}$	$I I - I I I \Rightarrow I I I$
$\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix}$	$\frac{1}{2} \cdot I I I \Rightarrow I I I$
$\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}$	$I I - 2 \cdot I I I \Rightarrow I I$
$\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}$	$I - I I I \Rightarrow I$
$\begin{matrix} 3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}$	$I - 2 \cdot I I \Rightarrow I$
$\begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 1 & 0 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}$	$\frac{1}{3} \cdot I \Rightarrow I$
$\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}$	$\begin{matrix} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}$	$= M^{- 1}$

Austauschverfahren $(A_{(i, j)} \Rightarrow A'_{(j, i)})$

Die Lösungsstrategie besteht darin, dass die Zeile r und die Spalte s der Matrix vertauscht werden. Dabei gilt für

das Hauptelement:
$a'_{r s} = \frac{1}{a_{r s}} (m i t a_{r s} \neq 0)$
die Elemente der Hauptzeile:
$a'_{r j} = \frac{a_{r j}}{- a_{r s}} (f ü r a l l e j \neq s)$
die Elemente der Hauptspalte:
$a'_{i s} = \frac{a_{i s}}{a_{r s}} (f ü r a l l e i \neq r)$
alle übrigen Elemente:
$a'_{i j} = a_{i j} + a'_{r j} a_{i r}$

Beispiel: Es ist die Inverse zur Matrix $M = (\begin{matrix} 1 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{matrix})$ zu berechnen.

1. Austauschschritt
(Zeile 3 gegen Spalte 1 mit dem Hauptelement $a_{31}$ ):

Anwendung der Transformationsregeln ergibt:
$\begin{matrix} Hauptelement & a'_{31} = \frac{1}{1} = 1 & a'_{21} = \frac{0}{1} = 0 \\ Hauptzeile & a'_{32} = \frac{- 1}{- 1} = 1 & a'_{33} = \frac{2}{- 1} = - 2 \\ Hauptspalte & a'_{11} = \frac{1}{1} = 1 & a'_{13} = 1 + (- 2) \cdot (- 1) = - 1 \\ übrige Elemente & a'_{12} = - 2 + 1 \cdot 1 = - 1 & a'_{23} = 2 + (- 2) \cdot 0 = 2 \\ a'_{22} = 1 + 1 \cdot 0 \end{matrix}$
Ergebnis:

	$Z_{3}$	$S_{2}$	$S_{3}$
$Z_{1}$	1	-1	-1
$Z_{2}$	0	1	2
$S_{1}$	1	1	-2

2. Austauschschritt:
(Zeile 2 gegen Spalte 2):

	$Z_{3}$	$Z_{2}$	$S_{3}$
$Z_{1}$	1	-1	1
$S_{2}$	0	1	-2
$S_{1}$	1	1	-4

3. Austauschschritt
(Zeile 1 gegen Spalte 3):

	$Z_{3}$	$Z_{2}$	$Z_{1}$
$S_{3}$	-1	1	1
$S_{2}$	2	-1	-2
$S_{1}$	5	-3	-4

In der richtigen Anordnung von Zeilen und Spalten ergibt sich damit als inverse Matrix:
$M^{- 1} = (\begin{matrix} - 4 & - 3 & - 5 \\ - 2 & - 1 & 2 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix})$

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Inversion von Matrizen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/inversion-von-matrizen (Abgerufen: 20. May 2025, 12:30 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

Jetzt durchstarten

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Inversion von Matrizen

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

Verfahren nach GAUSS-JORDAN

Austauschverfahren ( A ( i , j ) ⇒ A ' ( j , i ) )

Suche nach passenden Schlagwörtern

Austauschverfahren $(A_{(i, j)} \Rightarrow A'_{(j, i)})$