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Materialverflechtungen

Materialflüsse innerhalb einer ökonomischen Einheit drücken technologische und ökonomische Beziehungen zwischen den einzelnen Produktionsebenen aus.
Bei der Planung und Bilanzierung derartiger Wechselbeziehungen wird ein mathematisches Modell mit Matrizen und Vektoren gebildet. Dies ermöglicht es, in komprimierter Form die quantitativen Werte zu erfassen und zu bewerten.

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Der hohe Abstraktionsgrad der Darstellung in Matrizenform bedingt stets die sachliche Interpretation der vorliegenden Zahlenwerte. So werden aus der verbalen Beschreibung des Sachverhaltes häufig eine tabellarische Kurzform und eine grafische Darstellung der Beziehungen gewonnen und neben das Matrixmodell gestellt. Dies soll im Folgenden an einem Beispiel demonstriert werden.

Beispiel: In einem Montagebetrieb werden aus fünf verschiedenen Einzelteilen E i vier Arten von Baugruppen B i zusammengestellt, die man dann zu den drei Fertigprodukten F i zusammenfügt.

Die Absatzmengen werden als Zeilenvektoren beschrieben. Als Ersatzteile kommen in den Handel:
- die Fertigprodukte y → = ( 1000 2000 1500 ) T
- die Baugruppen b → = ( 200 300 250 500 ) T
- die Einzelteile e → = ( 400 500 700 800 700 ) T   

Den Bedarf an Einzelteilen je Baugruppe bzw. an Baugruppen je Fertigprodukt geben die Tabellen 1 und 2 an; die Beziehungen zwischen den Produktionsebenen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Wie viele Einzelteile der fünf Sorten E i müssen von den Zulieferwerken bereitgestellt werden?

Tabelle 1 (Bedarf an Einzelteilen):

  B 1 B 2 B 3 B 4
E 1 1260
E 2 4502
E 3 1356
E 4 2121
E 5 0343

Tabelle 2 (Bedarf an Baugruppen):

  F 1 F 2 F 3
B 1 104
B 2 310
B 3 532
B 4 226

 

  • Beziehungen zwischen den Produktionsebene

Der Bedarf an Einzelteilen aufgrund der Absatzmenge im Vektor y → errechnet sich als das Produkt der Matrizen M und N (die sich aus den Tabellen 1 und 2 ergeben) mit dem Vektor y → wie folgt:
     M ⋅ N ⋅ y → = ( 1 2 6 0 4 5 0 2 1 3 5 6 2 1 2 1 0 3 4 3 ) ⋅ ( 1 0 4 3 1 0 5 3 2 2 2 6 ) ⋅ ( 1   000 2   000 1   500 ) = ( 101   000 83   000 182   000 62   000 116   000 )

Hinzu kommen die Einzelteile, die für die Ersatzlieferung der Baugruppen b → erforderlich sind, also
     M ⋅ b → = ( 1 2 6 0 4 5 0 2 1 3 5 6 2 1 2 1 0 3 4 3 ) ⋅ ( 200 300 250 500 ) = ( 2   300 3   300 5   350 1   700 3   400 )

sowie die Einzelteile e → .

Die Gesamtzahl der erforderlichen Einzelteile liefert dann den Vektor x → als Summe aus den drei Teilmengen:
       x → = M ⋅ N ⋅ y → + M ⋅ b → + e → = ( 101   000 83   000 182   000 62   000 116   000 ) + ( 2   300 3   300 5   350 1   700 3   400 ) + ( 400 500 700 800 700 ) = ( 103   700 86   800 188   050 64   500 120   100 )     

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Materialverflechtungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/materialverflechtungen (Abgerufen: 11. June 2025, 23:12 UTC)

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