Normalenvektoren einer Geraden in der Ebene

Normalenvektoren einer Geraden in der Ebene

Normalenvektoren einer Geraden in der Ebene

Alle diese Normalenvektoren haben dieselbe Richtung und sind damit parallel zueinander, unterscheiden sich jedoch im Richtungssinn und im Betrag.

Aufgrund der eindeutig bestimmten Richtung eines Normalenvektors zu einer Geraden in der Ebene wird auch umgekehrt in der Ebene durch einen gegebenen Punkt P0 und durch einen gegebenen Normalenvektor n eine Gerade eindeutig bestimmt, die durch P0 geht und senkrecht zu n ist.

Für Abstandsprobleme wird oft ein Normaleneinheitsvektor n0 verwendet, da dieser den Betrag 1 hat und sich damit zu Längenvergleichen anbietet.
Ist n ein beliebiger Normalenvektor einer Geraden g in der Ebene, so erhält man den zugehörigen Normaleneinheitsvektor, indem man den Normalenvektor durch seinen Betrag dividiert:
n0=n|n|

Zu jeder Geraden in der Ebene gibt es genau zwei Normaleneinheitsvektoren, die sich nur im Richtungssinn unterscheiden.

  • Ist eine Gerade g in der Ebene durch ax + by + d = 0 gegeben, so ist
    n=(ab)
    ein Normalenvektor von g.

Ist eine Gerade g in der Ebene durch x=p0+ta gegeben, so kann man aus den Koordinaten des Richtungsvektors
a=(axay)
einen Normalenvektor von g bestimmen:
n=(ayax).

Für diese beiden Vektoren gilt nämlich an=(axay)(ayax)=axay+ayax=0.

Senkrechte Vektoren zu einer Geraden g im Raum werden nicht besonders hervorgehoben und können (im Unterschied zu einer Geraden der Ebene) auch nicht mit einem einheitlichen geschlossenen Ausdruck bezüglich der Geraden g beschrieben werden. Die folgende Abbildung zeigt, dass sich solche Vektoren nicht nur im Betrag und im Richtungssinn, sondern auch in der Richtung unterscheiden.

Senkrechte Vektoren zu einer Geraden im Raum

Senkrechte Vektoren zu einer Geraden im Raum

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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