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Sätze der ebenen Geometrie lassen sich mithilfe von Vektoren mitunter sehr knapp und übersichtlich beweisen. Auf der Grundlage entsprechender Figuren, in denen die relevanten Stücke vektoriell gekennzeichnet werden, formuliert man Voraussetzungen und Behauptung jeweils mittels Vektoren und versucht, durch logische Schlüsse unter Verwendung der Rechengesetze für Vektoren den Beweis zu führen.
Bereits Addition und Vervielfachung von Vektoren können dabei sehr hilfreich sein, die Hinzunahme multiplikativer Verknüpfungen und deren Eigenschaften erschließen weitere Anwendungsmöglichkeiten. Die folgenden Beispiele illustrieren diese Vorgehensweise.

Die Betrachtung von Anwendungsbeispielen führt zur Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren.

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind. Diese übereinstimmende Länge aller repräsentierenden Pfeile eines bestimmten Vektors nennt man dessen Betrag.

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Produkte von Vektoren".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Rechnen mit Vektoren".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

Analog zum Skalarprodukt wird ein neues Produkt $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ zweier Vektoren $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$ definiert. Dazu werden zunächst Anwendungsbeispiele betrachtet.

Für eine Funktion mit einer Gleichung $y=f\left(x\right)$, also für eine Funktion mit genau einer unabhängigen Variablen x, ist die erste Ableitung $y\text{'}=f\text{'}\left(x_0\right)$ an einer Stelle $x_0$ erklärt durch den Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle:
$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$

Interpretiert man diesen Grenzwert geometrisch, so gibt er den Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkte $P_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ an.

Es sei nun $z=f\left(x,y\right)$ die Gleichung einer Funktion f mit zwei unabhängigen Variablen x und y. Betrachtet man diese Funktion für ein konstantes $y=y_0$, so erhält man eine Funktion $z=f\left(x,y_0\right)$ mit nunmehr nur einer unabhängigen Variablen x, für die man wie oben angegeben den Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle $x_0$ aufstellen kann. Existiert dieser Grenzwert, so nennt man ihn die partielle Ableitung erster Ordnung der Ausgangsfunktion $z=f\left(x,y\right)$ nach x an der Stelle $\left(x_0;y_0\right)$ und schreibt:
$f_x\left(x_0;y_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h,y_0\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{h}$

Beim Lösen bestimmter physikalischer Aufgaben (Zusammensetzung oder Zerlegung von Kräften, Zusammensetzung von Geschwindigkeiten, Zusammensetzung von Wegen) werden die Sachverhalte in einer maßstäblichen Zeichnung dargestellt und das Ergebnis durch geometrische Konstruktion ermittelt. Aus der geometrischen Konstruktion können dann weitere Folgerungen gezogen werden.

In der Mathematik unterscheidet man skalare und vektorielle Größen. Skalare Größen (Skalare) sind richtungsunabhängig. Zu diesen Größen gehören z. B. Masse, Zeit und Währung.
Größen, bei denen die messbare Eigenschaft sowohl durch einen Betrag als auch durch eine Richtung gekennzeichnet ist, nennt man gerichtete oder vektorielle Größen. Beispiele für solche vektoriellen Größen sind Kraft, Geschwindigkeit oder Beschleunigung.