Betrag eines Vektors

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind. Diese übereinstimmende Länge aller repräsentierenden Pfeile eines bestimmten Vektors nennt man dessen Betrag.

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Der Betrag $| \vec{a} |$ eines Vektors $\vec{a}$ ist gleich der Länge der Strecke $\bar{A B}$ für einen beliebigen Repräsentanten $\vec{A B}$ von $\vec{a}$ . Gilt also $\vec{a} = \vec{A B}$ , so ist $| \vec{a} | = | \vec{A B} | .$
Im Spezialfall $| \vec{a} | = 1$ nennt man $\vec{a}$ einen Einheitsvektor.

Wird ein Vektor durch einen Pfeil mit den Endpunkten $P_{1} (x_{1}; y_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2})$ in der Ebene bzw. $P_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ im Raum beschrieben, so lässt sich sein Betrag mithilfe des Satzes des PYTHAGORAS aus seinen Koordinaten berechnen.

Es gilt dann:
$\begin{array}{l} | \vec{a} | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} b z w . \\ | \vec{a} | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \end{array}$

Beispiel 1: Ein Vektor $\vec{a}$ werde durch ein Pfeil mit den Endpunkten $P_{1} (3; 6; - 2) u n d P_{2} (- 8; 4; - 6)$ beschrieben.

Dann gilt:
$\begin{matrix} | \vec{a} | = \sqrt{{(- 8 - 3)}^{2} + {(4 - 6)}^{2} + {(- 6 - (- 2))}^{2}} \\ = \sqrt{121 + 4 + 16} = \sqrt{141} \end{matrix}$

Aus der Definition des Betrages eines Vektors als Streckenlänge sowie der Ungleichung für die Seitenlängen eines Dreiecks ergeben sich weiter folgende Regeln für das Rechnen mit den Beträgen beliebiger Vektoren $\vec{a} u n d \vec{b} :$
$\begin{array}{l} (1) | \vec{a} | \geq 0 \\ (2) | r \vec{a} | = | r | \cdot | \vec{a} | \\ (3) | \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} | \end{array}$

Der Betrag eines Vektors $\vec{a}$ kann auch rein vektoriell ohne expliziten Rückgriff auf die Koordinaten der Endpunkte eines ihn repräsentierenden Pfeils berechnet werden. Wird der Vektor $\vec{a}$ als Ortsvektor bezüglich des Koordinatenursprungs O dargestellt, so ist mit
$\vec{a} = \vec{O A} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) b z w . \vec{a} = \vec{O A} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix})$
eine gerichtete Strecke gegeben, deren Länge gleich dem Betrag von $\vec{a}$ ist.

Durch Anwenden des Satzes des PYTHAGORAS im ebenen Fall und zweimaliges Anwenden dieses Satzes im räumlichen Fall erhält man für den Betrag des Vektors $\vec{a}$ :
$\begin{matrix} | \vec{a} | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} b z w . \\ | \vec{a} | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} \end{matrix}$

Soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, der durch einen Pfeil $\vec{P_{1} P_{2}}$ repräsentiert wird, so bestimmt man analog den Betrag des Vektors ${\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1}$

Mit
${\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} = (\begin{matrix} x_{2} - x_{1} \\ y_{2} - y_{1} \end{matrix}) b z w . {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} = (\begin{matrix} x_{2} - x_{1} \\ \begin{matrix} y_{2} - y_{1} \\ z_{2} - z_{1} \end{matrix} \end{matrix})$
ergibt sich:
$\begin{array}{l} | {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} b z w . \\ | {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \end{array}$

$| {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} |$ gibt dabei zugleich die Länge der Strecke $\bar{P_{1} P_{2}}$ an.

Beispiel 2: Es ist der Betrag des Vektors $\vec{a}$ zu bestimmen, der durch den Pfeil mit den Endpunkten
${\vec{p}}_{1} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ - 4 \end{matrix}) u n d p_{2} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{matrix})$
repräsentiert wird.

Nach obiger Formel gilt:
$\begin{array}{l} | \vec{a} | = | {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} | \\ = \sqrt{{(2 - (- 2))}^{2} + {(5 - (- 1))}^{2} + {(7 - (- 4))}^{2}} = \sqrt{173} \end{array}$

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Betrag eines Vektors." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/betrag-eines-vektors (Abgerufen: 21. May 2025, 12:11 UTC)

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Eigenschaften des Vektorprodukts

Für das Vektorprodukt gelten das Alternativgesetz und das Distributivgesetz.
Das Assoziativgesetz dagegen trifft im Allgemeinen nicht zu.
Geometrische Anwendungen sind neben der Berechnung des Flächeninhalts (von Parallelogrammen) das Bestimmen des Schnittwinkels zweier Ebenen, das Ermitteln des Normalenvektors einer Ebene oder das Berechnen des Abstands zweier windschiefer Geraden.

Rechengesetze für Vektoren

Beim Vergleichen und beim Verknüpfen von Vektoren muss darauf geachtet werden, dass die Koordinatenanzahl, d.h. die Anzahl der Zeilen bei Darstellung als Spaltenvektor, übereinstimmt.
Für beliebige (n-dimensionale) Vektoren sind eine Addition sowie eine Vervielfachung mit reellen Zahlen definiert. Spezielle Produkte von Vektoren sind das Skalarprodukt sowie im dreidimensionalen Raum das Vektorprodukt und das Spatprodukt. Die Ergebnisse dieser Verknüpfungen können mithilfe der Koordinaten der zu verknüpfenden Vektoren berechnet werden.

Beweise unter Verwendung von Vektoren

Sätze der ebenen Geometrie lassen sich mithilfe von Vektoren mitunter sehr knapp und übersichtlich beweisen. Auf der Grundlage entsprechender Figuren, in denen die relevanten Stücke vektoriell gekennzeichnet werden, formuliert man Voraussetzungen und Behauptung jeweils mittels Vektoren und versucht, durch logische Schlüsse unter Verwendung der Rechengesetze für Vektoren den Beweis zu führen.
Bereits Addition und Vervielfachung von Vektoren können dabei sehr hilfreich sein, die Hinzunahme multiplikativer Verknüpfungen und deren Eigenschaften erschließen weitere Anwendungsmöglichkeiten. Die folgenden Beispiele illustrieren diese Vorgehensweise.

Kollinearität von Punkten (und Vektoren)

Punkte bezeichnet man als kollinear, wenn sie auf ein und derselben Geraden liegen. Zwei (verschiedene) Punkte sind stets kollinear, da sie eindeutig eine Gerade bestimmen.
Vektoren, deren Repräsentanten auf einer Geraden bzw. auf parallelen Geraden liegen, werden als kollineare Vektoren bezeichnet.

Die Lage eines Punktes P zu einer Geraden g (Lagebeziehung von Punkt und Gerade) kann auf verschiedene Weise untersucht werden. Im Folgenden wird dies – getrennt für die Ebene und den Raum – an Beispielen demonstriert.

Mittelpunkt einer Strecke

Eine Strecke sei durch die Koordinaten ihrer Endpunkte $P_{1} (x_{1}; y_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2})$ (in der Ebene) bzw. $P_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ (im Raum) gegeben.

Um die Koordinaten des Mittelpunkts dieser Strecke zu bestimmen, kann man – und darin besteht ein Vorzug vektorieller Arbeitsweise – die Betrachtungen für die Ebene und den Raum zunächst einheitlich durchführen.

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