Betrag eines Vektors

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang, zueinander parallel und gleich orientiert sind. Diese übereinstimmende Länge aller repräsentierenden Pfeile eines bestimmten Vektors nennt man dessen Betrag.

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Der Betrag $| \vec{a} |$ eines Vektors $\vec{a}$ ist gleich der Länge der Strecke $\bar{A B}$ für einen beliebigen Repräsentanten $\vec{A B}$ von $\vec{a}$ . Gilt also $\vec{a} = \vec{A B}$ , so ist $| \vec{a} | = | \vec{A B} | .$
Im Spezialfall $| \vec{a} | = 1$ nennt man $\vec{a}$ einen Einheitsvektor.

Wird ein Vektor durch einen Pfeil mit den Endpunkten $P_{1} (x_{1}; y_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2})$ in der Ebene bzw. $P_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ und $P_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ im Raum beschrieben, so lässt sich sein Betrag mithilfe des Satzes des PYTHAGORAS aus seinen Koordinaten berechnen.

Es gilt dann:
$\begin{array}{l} | \vec{a} | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} b z w . \\ | \vec{a} | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \end{array}$

Beispiel 1: Ein Vektor $\vec{a}$ werde durch ein Pfeil mit den Endpunkten $P_{1} (3; 6; - 2) u n d P_{2} (- 8; 4; - 6)$ beschrieben.

Dann gilt:
$\begin{matrix} | \vec{a} | = \sqrt{{(- 8 - 3)}^{2} + {(4 - 6)}^{2} + {(- 6 - (- 2))}^{2}} \\ = \sqrt{121 + 4 + 16} = \sqrt{141} \end{matrix}$

Aus der Definition des Betrages eines Vektors als Streckenlänge sowie der Ungleichung für die Seitenlängen eines Dreiecks ergeben sich weiter folgende Regeln für das Rechnen mit den Beträgen beliebiger Vektoren $\vec{a} u n d \vec{b} :$
$\begin{array}{l} (1) | \vec{a} | \geq 0 \\ (2) | r \vec{a} | = | r | \cdot | \vec{a} | \\ (3) | \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} | \end{array}$

Der Betrag eines Vektors $\vec{a}$ kann auch rein vektoriell ohne expliziten Rückgriff auf die Koordinaten der Endpunkte eines ihn repräsentierenden Pfeils berechnet werden. Wird der Vektor $\vec{a}$ als Ortsvektor bezüglich des Koordinatenursprungs O dargestellt, so ist mit
$\vec{a} = \vec{O A} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}) b z w . \vec{a} = \vec{O A} = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix})$
eine gerichtete Strecke gegeben, deren Länge gleich dem Betrag von $\vec{a}$ ist.

Durch Anwenden des Satzes des PYTHAGORAS im ebenen Fall und zweimaliges Anwenden dieses Satzes im räumlichen Fall erhält man für den Betrag des Vektors $\vec{a}$ :
$\begin{matrix} | \vec{a} | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2}} b z w . \\ | \vec{a} | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}} \end{matrix}$

Soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, der durch einen Pfeil $\vec{P_{1} P_{2}}$ repräsentiert wird, so bestimmt man analog den Betrag des Vektors ${\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1}$

Mit
${\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} = (\begin{matrix} x_{2} - x_{1} \\ y_{2} - y_{1} \end{matrix}) b z w . {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} = (\begin{matrix} x_{2} - x_{1} \\ \begin{matrix} y_{2} - y_{1} \\ z_{2} - z_{1} \end{matrix} \end{matrix})$
ergibt sich:
$\begin{array}{l} | {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} b z w . \\ | {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} | = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \end{array}$

$| {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} |$ gibt dabei zugleich die Länge der Strecke $\bar{P_{1} P_{2}}$ an.

Beispiel 2: Es ist der Betrag des Vektors $\vec{a}$ zu bestimmen, der durch den Pfeil mit den Endpunkten
${\vec{p}}_{1} = (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ - 4 \end{matrix}) u n d p_{2} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{matrix})$
repräsentiert wird.

Nach obiger Formel gilt:
$\begin{array}{l} | \vec{a} | = | {\vec{p}}_{2} - {\vec{p}}_{1} | \\ = \sqrt{{(2 - (- 2))}^{2} + {(5 - (- 1))}^{2} + {(7 - (- 4))}^{2}} = \sqrt{173} \end{array}$

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Betrag eines Vektors." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/betrag-eines-vektors (Abgerufen: 31. October 2025, 01:16 UTC)

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Rechengesetze für Vektoren

Beim Vergleichen und beim Verknüpfen von Vektoren muss darauf geachtet werden, dass die Koordinatenanzahl, d.h. die Anzahl der Zeilen bei Darstellung als Spaltenvektor, übereinstimmt.
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Beweise unter Verwendung von Vektoren

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Um die Koordinaten des Mittelpunkts dieser Strecke zu bestimmen, kann man – und darin besteht ein Vorzug vektorieller Arbeitsweise – die Betrachtungen für die Ebene und den Raum zunächst einheitlich durchführen.

Skalarprodukt zweier Vektoren

Die Betrachtung von Anwendungsbeispielen führt zur Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren.

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