Kollinearität von Punkten (und Vektoren)

Punkte und Geraden der Ebene

Fall 1: Die Gerade sei durch eine Gleichung in parameterfreier Form gegeben.

• Beispiel 1: Es ist zu prüfen, ob die Punkte $P_1\left(4;5\right)und{P}_2\left(1;3\right)$ auf der Geraden g mit der Gleichung $y=f\left(x\right)=2x-3$ liegen.

Eine Punktprobe, also das Einsetzen der Koordinaten von $P_1$ in die Geradengleichung, führt zur wahren Aussage $5=2\cdot 4-3=5;$ also ist $P_1$ ein Punkt der Geraden g.
Einsetzen der Koordinaten von $P_2$ in die Geradengleichung führt zu einer falschen Aussage $\left(3=2\cdot 1-3=-1\right);$ folglich ist $P_2$ kein Punkt der Geraden g.

Fall 2: Die Gerade liegt als Parametergleichung vor.

• Beispiel 2: Es ist zu prüfen, ob die Punkte $P_1\left(4;5\right)und{P}_2\left(1;3\right)$ auf der Geraden g mit folgender Gleichung liegen:
  $g\text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)$

Einsetzen der Koordinaten von $P_1$ in die Geradengleichung ergibt:
$\left(\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)$
Das führt zu folgendem Gleichungssystem mit einer eindeutig bestimmten Lösung r:
$\begin{array}{cc}4=2+3r& \Rightarrow r=\frac{2}{3}\\ 5=1+6r& \Rightarrow r=\frac{2}{3}\end{array}$
Der Punkt $P_1\left(4;5\right)$ liegt auf der Geraden g.
Einsetzen der Koordinaten von $P_2$ in die Geradengleichung führt über
$\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)$
zu:
$\begin{array}{cc}1=2+3r& \Rightarrow r=-\frac{1}{3}\\ 3=1+6r& \Rightarrow r=\frac{1}{3}\end{array}$
Man erhält keine Lösung für r, der Punkt $P_2$ liegt damit nicht auf der Geraden g.

Punkte und Geraden des (dreidimensionalen) Raumes

Für Punkte des Raumes ${ℝ}^3$ werden die Betrachtungen analog mit den (in Parameterdarstellung gegebenen) Geradengleichungen durchgeführt.

• Beispiel 3: Es ist zu prüfen, ob der Punkt $P_1\left(1;2;4\right)$ auf der Geraden g mit folgender Gleichung liegt:
  $g\text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

Einsetzen der Punktkoordinaten in die Geradengleichung liefert
$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$
und damit nachstehendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{cc}(I)& 1=1+2r\\ (II)& 2=r\\ (III)& 4=r\end{array}$
Die Gleichungen (II) und (III) widersprechen einander, also liegt $P_1$ nicht auf g.

• Beispiel 4: Es ist zu prüfen, ob der Punkt $P_2\left(7;3;3\right)$ auf der Geraden g des Beispiels 3 liegt.

In diesem Fall erhält man folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{cc}(I)& 7=1+2r\\ (II)& 3=r\\ (III)& 3=r\end{array}$
Es ist zu erkennen, dass $r=3$ alle drei Gleichungen erfüllt. Damit liegt $P_2$ auf der Geraden g.

Vektoren, deren Repräsentanten auf einer Geraden bzw. auf parallelen Geraden liegen, werden als kollineare Vektoren bezeichnet.

Kollineare Vektoren $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$ sind voneinander linear abhängig und damit gilt:
$\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}bzw.\overrightarrow{b}=\mu \overrightarrow{a}$

Aussagen zur Lagebeziehung von Geraden können getroffen werden, indem man untersucht, ob deren Richtungsvektoren kollinear sind.
Dazu seien im Folgenden zwei Beispiele betrachtet.

• Beispiel 5:
  $g_1\text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)und{g}_2\text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$
  Aus der Kollinearität der Richtungsvektoren von $g_{1}und{g}_2$ folgt, dass die Geraden parallel sind.
  Anmerkung: Ein Sonderfall der Parallelität sind identische Geraden.

Zwei Geraden mit nichtkollinearen Richtungsvektoren haben in der Ebene stets einen Schnittpunkt, im Raum können sie auch windschief zueinander verlaufen.

• Beispiel 6:
  $g_1\text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)und{g}_2\text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$

Durch Gleichsetzen erhält man
$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right)$
und daraus das folgende Gleichungssystem:
$\begin{array}{cc}(I)& 2r-s=-1\\ (II)& -3s=-1\\ (III)& -3s=3\end{array}$
Aus den Gleichungen (II) und (III) ist die Unlösbarkeit des Gleichungssystems zu erkennen, d.h., beide Geraden haben keine gemeinsamen Punkte. Da außerdem die Richtungsvektoren linear unabhängig sind, verlaufen die beiden Geraden windschief zueinander.