Flächeninhalt eines Dreiecks

Koordinatendarstellung

Die Fläche $A_D$ des Dreiecks ABC kann folgendermaßen aus Parallelogrammen gebildet werden:
$\begin{array}{l}{A}_D=A_{AA\text{'}C\text{'}C}+A_{CC\text{'}BB}-A_{AA\text{'}B\text{'}B}\\ =A_1+A_2-A_3(\ast )\end{array}$

Für die Flächeninhalte der entsprechenden Trapeze $AA\text{'}C\text{'}C,CC\text{'}BBundAA\text{'}B\text{'}B$ gilt:
$\begin{array}{l}{A}_1=\frac{y_C+y_A}{2}\left(x_C-x_A\right)\\ A_2=\frac{y_B+y_C}{2}\left(x_B-x_C\right)\\ A_3=\frac{y_B+y_A}{2}\left(x_B-x_A\right)\end{array}$

In die Gleichung $(\ast )$ eingesetzt liefert dies
$A_D=\frac{1}{2}\left[\left(y_C+y_A\right)\left(x_C-x_A\right)+\left(y_B+y_C\right)\left(x_B-x_C\right)-\left(y_B+y_A\right)\left(x_B-x_A\right)\right]$
bzw. (ausmultipliziert)
$A_D=\frac{1}{2}\left[\left(y_A{x}_C-y_C{x}_A\right)+\left(y_C{x}_B-y_B{x}_C\right)+\left(y_B{x}_A-y_A{x}_B\right)\right]$
oder (vereinfacht)
$A_D=\frac{1}{2}\left[x_A\left(y_B-y_C\right)+x_B\left(y_C-y_A\right)+x_C\left(y_A-y_B\right)\right].$

• Sind die Koordinaten der Eckpunkte eines Dreiecks ABC gegeben, so lässt sich sein Flächeninhalt folgendermaßen berechnen:
  $A_D=\frac{1}{2}\left[x_A\left(y_B-y_C\right)+x_B\left(y_C-y_A\right)+x_C\left(y_A-y_B\right)\right]$

Auch vektoriell lässt sich der Flächeninhalt ermitteln.

• Wird das Dreieck ABC durch die Vektoren $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AB}und\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$ aufgespannt, dann gilt:
  $A=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right|$

In Determinantenform geschrieben ergibt sich schließlich:
$A_D=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}{x}_B-x_A& y_B-y_A\\ x_C-x_A& y_C-y_A\end{array}\right|$

• Beispiel 1: Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit $A\left(-2;11\right),B\left(10;6\right)undC\left(-6;8\right)$ zu berechnen.

Einsetzen in die oben entwickelte Formel ergibt:
$\begin{array}{l}{A}_D=\frac{1}{2}\cdot \left[-2\cdot \left(6+8\right)+10\cdot \left(-8-11\right)-6\cdot \left(11-6\right)\right]\\ A_D=\frac{1}{2}\cdot \left[-2\cdot 14+10\cdot \left(-19\right)-6\cdot 5\right]=-124\end{array}$

Das gleiche Ergebnis liefert die Berechnung mithilfe der Determinante:
$\begin{array}{l}{A}_D=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}10+2& 6-11\\ -6+2& -8-11\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}12& -5\\ -4& -19\end{array}\right|\\ =\frac{1}{2}\cdot \left(-228-20\right)=-124\end{array}$

Da dieses Dreieck, wie man leicht in einer Skizze sieht, im mathematisch negativen Drehsinn durchlaufen wird, wird die Maßzahl des Flächeninhaltes hier negativ.
Also ist $A_D=124\text{ FE}\text{.}$

Vektordarstellung

Das Dreieck ABC werde durch die Vektoren $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AB}und\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$ aufgespannt:

Wegen $h=\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \sin \alpha$ gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:
$\begin{array}{l}A=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{c}\right|\cdot h\\ =\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{b}\right|\left|\overrightarrow{c}\right|\cdot \sin \alpha \end{array}$

Bei Benutzung des Vektorproduktes ergibt sich die folgende Form:
$A=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right|$

• Beispiel 2: Gegeben sind die Punkte $A\left(1;1;1\right),B\left(2;3;4\right)undC\left(4;3;2\right)$. Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC zu berechnen.

Es ist $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)und\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right).$
Damit ergibt sich:
$A_D=\frac{1}{2}\left|\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)\right|=\frac{1}{2}\left|\left(\begin{array}{c}4\\ -8\\ 4\end{array}\right)\right|=2\left|\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)\right|=2\sqrt{6}$

Die Fläche des Dreiecks beträgt $2\sqrt{6}\text{ FE}\text{.}$

• Beispiel 3: Gegeben sind die Punkte $A\left(2;-1;3\right),B\left(1;1;2\right)undC\left(0;3;1\right)$.
  Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC zu berechnen.

Mit $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)und\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)$
ergibt sich:
$A_D=\frac{1}{2}\left|\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)\right|=0$

Der Flächeninhalt besitzt die Maßzahl 0, d.h., die drei Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden (sind kollinear).