Flächeninhalt eines Dreiecks

Koordinatendarstellung

Die Fläche A D des Dreiecks ABC kann folgendermaßen aus Parallelogrammen gebildet werden:
A D = A A A ' C ' C + A C C ' B B + A A A ' B ' B = A 1 + A 2 A 3 ( )

Dreieck im ebenen kartesischen Koordinatensystem

Dreieck im ebenen kartesischen Koordinatensystem

Für die Flächeninhalte der entsprechenden Trapeze A A ' C ' C , C C ' B B u n d A A ' B ' B gilt:
A 1 = y C + y A 2 ( x C x A ) A 2 = y B + y C 2 ( x B x C ) A 3 = y B + y A 2 ( x B x A )

In die Gleichung ( ) eingesetzt liefert dies
A D = 1 2 [ ( y C + y A ) ( x C x A ) + ( y B + y C ) ( x B x C ) ( y B + y A ) ( x B x A ) ]
bzw. (ausmultipliziert)
A D = 1 2 [ ( y A x C y C x A ) + ( y C x B y B x C ) + ( y B x A y A x B ) ]
oder (vereinfacht)
A D = 1 2 [ x A ( y B y C ) + x B ( y C y A ) + x C ( y A y B ) ] .

  • Sind die Koordinaten der Eckpunkte eines Dreiecks ABC gegeben, so lässt sich sein Flächeninhalt folgendermaßen berechnen:
    A D = 1 2 [ x A ( y B y C ) + x B ( y C y A ) + x C ( y A y B ) ]

Auch vektoriell lässt sich der Flächeninhalt ermitteln.

  • Wird das Dreieck ABC durch die Vektoren c = A B u n d b = A C aufgespannt, dann gilt:
    A = 1 2 | b × c |

In Determinantenform geschrieben ergibt sich schließlich:
A D = 1 2 | x B x A y B y A x C x A y C y A |

  • Beispiel 1: Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A ( 2 ; 11 ) , B ( 10 ; 6 ) u n d C ( 6 ; 8 ) zu berechnen.

Einsetzen in die oben entwickelte Formel ergibt:
A D = 1 2 [ 2 ( 6 + 8 ) + 10 ( 8 11 ) 6 ( 11 6 ) ] A D = 1 2 [ 2 14 + 10 ( 19 ) 6 5 ] = 124

Das gleiche Ergebnis liefert die Berechnung mithilfe der Determinante:
A D = 1 2 | 10 + 2 6 11 6 + 2 8 11 | = 1 2 | 12 5 4 19 | = 1 2 ( 228 20 ) = 124

Da dieses Dreieck, wie man leicht in einer Skizze sieht, im mathematisch negativen Drehsinn durchlaufen wird, wird die Maßzahl des Flächeninhaltes hier negativ.
Also ist A D = 124  FE .

Vektordarstellung

Das Dreieck ABC werde durch die Vektoren c = A B u n d b = A C aufgespannt:

Bild

Wegen h = | b | sin α gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:
A = 1 2 | c | h = 1 2 | b | | c | sin α

Bei Benutzung des Vektorproduktes ergibt sich die folgende Form:
A = 1 2 | b × c |

  • Beispiel 2: Gegeben sind die Punkte A ( 1 ; 1 ; 1 ) , B ( 2 ; 3 ; 4 ) u n d C ( 4 ; 3 ; 2 ) . Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC zu berechnen.

Es ist b = ( 3 2 1 ) u n d c = ( 1 2 3 ) .
Damit ergibt sich:
A D = 1 2 | ( 3 2 1 ) × ( 1 2 3 ) | = 1 2 | ( 4 8 4 ) | = 2 | ( 1 2 1 ) | = 2 6

Die Fläche des Dreiecks beträgt 2 6  FE .

  • Beispiel 3: Gegeben sind die Punkte A ( 2 ; 1 ; 3 ) , B ( 1 ; 1 ; 2 ) u n d C ( 0 ; 3 ; 1 ) .
    Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC zu berechnen.

Mit b = ( 1 2 1 ) u n d c = ( 2 4 2 )
ergibt sich:
A D = 1 2 | ( 1 2 1 ) × ( 2 4 2 ) | = 0

Der Flächeninhalt besitzt die Maßzahl 0, d.h., die drei Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden (sind kollinear).

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