Flächeninhalt eines Dreiecks

Koordinatendarstellung

Die Fläche AD des Dreiecks ABC kann folgendermaßen aus Parallelogrammen gebildet werden:
AD=AAA'C'C+ACC'BB+AAA'B'B=A1+A2A3()

Dreieck im ebenen kartesischen Koordinatensystem

Für die Flächeninhalte der entsprechenden Trapeze AA'C'C,CC'BBundAA'B'B gilt:
A1=yC+yA2(xCxA)A2=yB+yC2(xBxC)A3=yB+yA2(xBxA)

In die Gleichung () eingesetzt liefert dies
AD=12[(yC+yA)(xCxA)+(yB+yC)(xBxC)(yB+yA)(xBxA)]
bzw. (ausmultipliziert)
AD=12[(yAxCyCxA)+(yCxByBxC)+(yBxAyAxB)]
oder (vereinfacht)
AD=12[xA(yByC)+xB(yCyA)+xC(yAyB)].

  • Sind die Koordinaten der Eckpunkte eines Dreiecks ABC gegeben, so lässt sich sein Flächeninhalt folgendermaßen berechnen:
    AD=12[xA(yByC)+xB(yCyA)+xC(yAyB)]

Auch vektoriell lässt sich der Flächeninhalt ermitteln.

  • Wird das Dreieck ABC durch die Vektoren c=ABundb=AC aufgespannt, dann gilt:
    A=12|b×c|

In Determinantenform geschrieben ergibt sich schließlich:
AD=12|xBxAyByAxCxAyCyA|

  • Beispiel 1: Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(2;11),B(10;6)undC(6;8) zu berechnen.

Einsetzen in die oben entwickelte Formel ergibt:
AD=12[2(6+8)+10(811)6(116)]AD=12[214+10(19)65]=124

Das gleiche Ergebnis liefert die Berechnung mithilfe der Determinante:
AD=12|10+26116+2811|=12|125419|=12(22820)=124

Da dieses Dreieck, wie man leicht in einer Skizze sieht, im mathematisch negativen Drehsinn durchlaufen wird, wird die Maßzahl des Flächeninhaltes hier negativ.
Also ist AD=124 FE.

Vektordarstellung

Das Dreieck ABC werde durch die Vektoren c=ABundb=AC aufgespannt:

Bild

Wegen h=|b|sinα gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:
A=12|c|h=12|b||c|sinα

Bei Benutzung des Vektorproduktes ergibt sich die folgende Form:
A=12|b×c|

  • Beispiel 2: Gegeben sind die Punkte A(1;1;1),B(2;3;4)undC(4;3;2). Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC zu berechnen.

Es ist b=(321)undc=(123).
Damit ergibt sich:
AD=12|(321)×(123)|=12|(484)|=2|(121)|=26

Die Fläche des Dreiecks beträgt 26 FE.

  • Beispiel 3: Gegeben sind die Punkte A(2;1;3),B(1;1;2)undC(0;3;1).
    Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC zu berechnen.

Mit b=(121)undc=(242)
ergibt sich:
AD=12|(121)×(242)|=0

Der Flächeninhalt besitzt die Maßzahl 0, d.h., die drei Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden (sind kollinear).

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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