Normalenvektoren einer Ebene im Raum

Aufgrund der eindeutig bestimmten Richtung eines Normalenvektors zu einer Ebene im Raum wird auch umgekehrt durch einen gegebenen Punkt $P_0$ und einen gegebenen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ diejenige Ebene im Raum eindeutig bestimmt, die durch $P_0$ geht und senkrecht zu $\overrightarrow{n}$ ist.

Für Abstandsprobleme wird oft ein Normaleneinheitsvektor ${\overrightarrow{n}}^0$ verwendet, da dieser den Betrag 1 hat und sich damit zu Längenvergleichen anbietet. Ist $\overrightarrow{n}$ ein beliebiger Normalenvektor einer Ebene $\epsilon$ im Raum, so erhält man den zugehörigen Normaleneinheitsvektor, indem man den Normalenvektor durch seinen Betrag dividiert:
${\overrightarrow{n}}^0=\frac{\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$

Zu jeder Ebene im Raum gibt es genau zwei Normaleneinheitsvektoren, die sich nur im Richtungssinn unterscheiden.

• Ist eine Ebene $\epsilon$ im Raum durch ax + by + cz + d = 0 gegeben, so ist
  $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$
  ein Normalenvektor von $\epsilon$.

Für eine Ebene $\epsilon$ im Raum gilt:

• Ist $\epsilon$ durch $\epsilon :\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$ gegeben, so kann man mithilfe des Vektorprodukts einen Normalenvektor von $\epsilon$ berechnen:
  $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$

Laut Definition des Vektorprodukts ist nämlich der das Vektorprodukt zweier Vektoren $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$ bildende Vektor senkrecht zu $\overrightarrow{a}$ sowie senkrecht zu $\overrightarrow{b}$ und damit auch senkrecht zu der durch $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$ aufgespannten Ebene.