Anwendungen des Spatprodukts

Mithilfe des Spatproduktes kann das Volumen eines Tetraeders ermittelt werden.
Das Spatprodukt lässt sich ferner zur Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene und des Abstands zweier zueinander windschiefer Geraden anwenden.

Sind die drei Vektoren
$\vec{a}$ = $(\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix})$ , $\vec{b}$ = $(\begin{matrix} b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \end{matrix})$ und $\vec{c}$ = $(\begin{matrix} c_{x} \\ c_{y} \\ c_{z} \end{matrix})$
gegeben, so bezeichnet $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ das Spatprodukt dieser drei Vektoren.

Das Spatprodukt lässt sich wie folgt berechnen:
$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = | \begin{matrix} a_{x} & b_{x} & c_{x} \\ a_{y} & b_{y} & c_{y} \\ a_{z} & b_{z} & c_{z} \end{matrix} |$

Außer dem Volumen eines Parallelepipeds kann mithilfe des Spatprodukts auch das Volumen eines Tetraeders ermittelt werden.

Ist OABC ein Tetraeder, das durch die drei Vektoren $\vec{a} = \vec{O A}$ , $\vec{b} = \vec{O B}$ und $\vec{c} = \vec{O C}$ festgelegt ist, so bestimmen diese drei Vektoren auch ein Spat.

Zerlegungen eines Spats

Zuerst zerlegt man dieses Spat in zwei volumengleiche Teile, indem es entlang der Ebene durch A, E, F, B zerteilt wird. Zeichnet man dann die Strecke $\bar{E B}$ ein, so „zerfällt“ der eine Teilkörper in drei Tetraeder OABC, ABCE und CBEF:

Die Tetraeder OABC und CBEF sind volumengleich, weil zum einen ihre Grundflächen OAB und CEF zueinander kongruent sind. Zum anderen stimmt die Höhe von C auf $ε (O A B)$ mit der Höhe von B auf $ε (C E F)$ überein, da die beiden betrachteten Ebenen parallel sind.

Die Tetraeder OABC und ABCE sind volumengleich, weil ihre Grundflächen OAC und ACE zueinander kongruent sind und in einer gemeinsamen Ebene liegen sowie B die gemeinsame Spitze über den entsprechenden Grundflächen ist.

Folglich gilt für das Volumen V(OABC) eines Tetraeders OABC:
$V(OABC) = \frac{1}{6} [\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}] = \frac{1}{6} [(\vec{O A} \times \vec{O B}) \cdot \vec{O C}]$

Das Spatprodukt kann ferner zur Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene und zur Berechnung des Abstands zweier zueinander windschiefer Geraden benutzt werden.

Sind eine Ebene $ε$ durch ihre Gleichung $\vec{x} = {\vec{p}}_{0} + r \vec{a} + s \vec{b}$ und ein Punkt P durch seine Koordinaten gegeben, so erhält man den (vorzeichenbehafteten) Abstand h des Punkts P von $ε$ durch
$h = \frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{P_{0} P}]}{| \vec{a} \times \vec{b} |}$ .

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Sind im Raum zwei zueinander windschiefe Geraden durch ihre Gleichungen $g_{1} : \vec{x} = {\vec{p}}_{1} + t \vec{a}_{1}$ und $g_{2} : \vec{x} = {\vec{p}}_{2} + t \vec{a}_{2}$ gegeben, so ist der Abstand h der beiden Geraden gleich dem Abstand der beiden zueinander parallelen Ebenen $ε_{1}$ und $ε_{2}$ , die $g_{1}$ bzw. $g_{2}$ enthalten und eindeutig bestimmt sind.

Beide Ebenen sind dabei durch die Richtungsvektoren ${\vec{a}}_{1} u n d {\vec{a}}_{2}$ bestimmt. Der gesuchte Abstand ergibt sich dann z.B. als Abstand von $P_{2} v o n ε_{1}$ . Damit erhält man:
$\begin{array}{l} h = \frac{[{\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, \vec{P_{1} P_{2}}]}{| {\vec{a}}_{1} \times {\vec{a}}_{2} |} \end{array}$

Abstand windschiefer Geraden

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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