Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

Überlegungen zum Einfluss von Veränderungen der Integrationsgrenzen auf den Wert des bestimmten Integrals
${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)}dx$
führen zu dem Resultat, dass dieser Wert bei fester unterer Grenze a eine Funktion $\Phi$ der oberen Integrationsgrenze ist. Ferner gilt der Satz:

• Für eine im Intervall [a; b] stetige Funktion f ist die Funktion $\Phi$ mit $\Phi \left(x\right)={\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt}$ eine Stammfunktion von f im Intervall [a; b].

Ist nun F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt nach diesem Satz:
$\Phi \left(x\right)=F\left(x\right)+Cbzw.{\displaystyle \underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)}dt=F\left(x\right)+C$

Für x = a erhält man hieraus
${\displaystyle \underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(t\right)}dt=0=F\left(a\right)+CundsomitC=-F\left(a\right).$

Für x = b folgt ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)}dt=F\left(b\right)+C$.

Ersetzt man in dieser Gleichung C, dann ergibt sich:
${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)}dt=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Durch Umbenennung der Integrationsvariablen erhält man schließlich
${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)}dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

Mit diesen Überlegungen wurde folgender Satz bewiesen:

• Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
  Ist f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion und F eine zu f gehörende Stammfunktion, so gilt:
  ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)}dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Dieser Satz wird nach den Begründern der Infinitesimalrechnung häufig auch als Formel nach NEWTON-LEIBNIZ bezeichnet. Er stellt den Zusammenhang zwischen der Differenzial- und Integralrechnung her und verbindet zwei Sachverhalte miteinander, denen völlig unterschiedliche Probleme zugrunde liegen:

Das bestimmte Integral
${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)}dx$
wurde durch Grenzwerte von Zahlenfolgen definiert, zum unbestimmten Integral (Aufsuchen von Stammfunktionen) gelangt man über die Umkehrung des Differenzierens.

Der Hauptsatz ermöglicht die effektive Berechnung bestimmter Integrale mithilfe der Stammfunktion.

Beispiel: Das bestimmte Integral ${\displaystyle \underset{2}{\overset{4}{\int }}\left(x^2-2\sqrt{x}\right)}dx$ ist zu berechnen.

1. Schritt: Ermitteln des unbestimmten Integrals, also einer Stammfunktion F des Integranden:
$F\left(x\right)={\displaystyle \int \left(x^2-2\sqrt{x}\right)dx=\frac{x^3}{3}}-\frac{4}{3}\sqrt{x^3}+C$

2. Schritt: Berechnen von F(a) und F(b), hier F(2) und F(4), durch Einsetzen der unteren bzw. oberen Integrationsgrenze in F(x):
$F\left(4\right)=\frac{64}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{64}+C;F\left(2\right)=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{8}+C$

3. Schritt: Bilden der Differenz F(b) – F(a):
$\begin{array}{c}{\left[\frac{x^3}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{x^3}+C\right]}_2^4=\left(\frac{64}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{64}+C\right)-\left(\frac{8}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{8}+C\right)\\ =8+\frac{4}{3}\sqrt{8}\approx \mathrm{11,77}\end{array}$

(Auf die Angabe von C wird in der Regel verzichtet, da diese Konstante beim Subtrahieren ohnehin wegfiele.)
Also gilt:
${\displaystyle \underset{2}{\overset{4}{\int }}\left(x^2-2\sqrt{x}\right)}dx\approx \mathrm{11,77}$