Integration durch nichtlineare Substitution

  • Satz: Es sei f ( x ) = v ( u ( x ) ) u ' ( x ) und V eine Stamfunktion von v. Dann ist F mit F ( x ) = V ( u ( x ) ) eine Stammfunktion von f:
    f ( x ) d x = v ( u ( x ) ) u ' ( x ) d x = V ( u ( x ) ) + C = F ( x ) + C  

Beispiel 1:

2 x e x 2 d x = e z d z S u b s t i t u t i o n : z = x 2 = e z + C = e x 2 + C d z d x = 2 x , a l s o d x = d z 2 x

Beispiel 2:

1 4 4 x 2 x 2 1 d x = [ 2 3 ( 2 x 2 1 ) 3 ] 1 4 S u b s t i t u t i o n : z = 2 x 2 = 2 3 ( 31 31 1 ) 114,4 d z d x = 4 x , a l s o d x = d z 4 x

Beispiel 3:

sin x cos x d x =

1. Lösungsweg:
Da cos x die Ableitung von sin x ist, substituiert man z = sin x, woraus d z d x = cos x u n d d x = d z cos x folgt.
Damit gilt: sin x cos x d x = z d z = 1 2 z 2 + C = 1 2 sin 2 x + C

2. Lösungsweg:
Man kann ebenso -sin x als Ableitung von cos x auffassen und setzt
z = cos x. Damit gilt: d z d x = sin x u n d d x = d z sin x -.
Also: sin x cos x d x = z d z = 1 2 z 2 + C = 1 2 cos 2 x + C

Die Probe durch Differenzieren zeigt die Richtigkeit auch dieser zweiten Lösung.
Unter Verwendung der Beziehung sin 2 x + cos 2 x = 1 lässt sich zeigen, dass die beiden Lösungen identisch sind.

Beispiel 4:

3 x 1 + x 2 d x =
Durch die Umformung 3 x 1 + x 2 d x = 3 2 2 x 1 + x 2 d x steht im Zähler der Integrandenfunktion die Ableitung des Nenners.

Deshalb bietet sich die Substitution z = 1 + x 2 a n , w o r a u s d z = 2 x d x f o lg t .

Damit gilt:
3 x 1 + x 2 d x = 3 2 1 z d z = 3 2 ln | z | + C = 3 2 ln ( 1 + x 2 ) + C

Spezialfall der Substitutionsregel

Ist die Zählerfunktion des Integranden die Ableitung der Nennerfunktion, wie in Beispiel 4, lässt sich dies zu folgender Methode verallgemeinern.

  • Es gilt als Spezialfall der Substitutionsregel:
    f ' ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C ( d e n n m i t z = f ( x ) e r h ä l t m a n d z = f ' ( x ) d x u n d d a m i t f ' ( x ) f ( x ) d x = d z z = ln | z | + C = ln | f ( x ) | + C )
    Diese Regel wird manchmal auch als „logarithmisches Integrieren“ bezeichnet.

Bei der Berechnung bestimmter Integrale der Form
a b v ( u ( x ) ) u ' ( x ) d x
kann man in der Resultatsangabe anstelle der Stammfunktion V ( u ( x ) ) auch die Stammfunktion V ( z ) m i t z = u ( x ) verwenden, d. h. man braucht nicht wieder „zu resubstituieren“, wenn gleichzeitig die Integrationsgrenzen a und b durch u(a) und u(b) ersetzt werden.

Beispiel 5:
0 π 2 e sin x cos x d x = sin 0 sin π 2 e z d z S u b s t i t u t i o n : z = sin x , a l s o d z = cos x d x = 0 1 e z d z = [ e z ] 0 1 = e 1 1,718

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

Learnattack

Gemeinsam zu besseren Noten!Kooperation mit Duden Learnattack

Lernvideos, interaktive Übungen und WhatsApp-Nachhilfe – jetzt Duden Learnattack 48 Stunden kostenlos testen.

Du wirst automatisch zu Learnattack weitergeleitet.
Lexikon Share
Beliebte Artikel
alle anzeigen

Einloggen