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Integration durch nichtlineare Substitution

Ist im Integranden eines Integrals eine verkettete Funktion und außerdem noch die Ableitungsfunktion der inneren Funktion als Faktor vorhanden, so kann die Integration durch nichtlineare Substitution erfolgen.

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  • Satz: Es sei f ( x ) = v ( u ( x ) ) ⋅ u ' ( x ) und V eine Stamfunktion von v. Dann ist F mit F ( x ) = V ( u ( x ) ) eine Stammfunktion von f:
    ∫ f ( x )   d x = ∫ v ( u ( x ) )     ⋅     u ' ( x )   d x = V ( u ( x ) ) + C = F ( x ) + C  

Beispiel 1:

∫ 2 x ⋅ e x 2 d x = ∫ e z   d z       S u b s t i t u t i o n :     z = x 2   = e z + C = e x 2 + C       d z d x = 2 x ,       a l s o       d x = d z 2 x

Beispiel 2:

∫ 1 4 4 x 2 x 2 − 1   d x = [ 2 3 ( 2 x 2 − 1 ) 3 ]   1   4       S u b s t i t u t i o n :     z = 2 x 2   = 2 3 ( 31 31 − 1 ) ≈ 114,4               d z d x = 4 x ,       a l s o       d x = d z 4 x

Beispiel 3:

∫ sin   x     ⋅ cos   x     d x =

1. Lösungsweg:
Da cos x die Ableitung von sin x ist, substituiert man z = sin x, woraus d z d x = cos   x         u n d         d x = d z cos   x folgt.
Damit gilt: ∫ sin   x     ⋅ cos   x     d x = ∫ z   d z       =     1 2   z 2 + C       =     1 2   sin 2   x     + C

2. Lösungsweg:
Man kann ebenso -sin x als Ableitung von cos x auffassen und setzt
z = cos x. Damit gilt: d z d x = − sin   x         u n d         d x = −   d z sin   x -.
Also: ∫ sin   x     ⋅ cos   x     d x = − ∫ z   d z = − 1 2   z 2 + C = − 1 2   cos 2   x     + C

Die Probe durch Differenzieren zeigt die Richtigkeit auch dieser zweiten Lösung.
Unter Verwendung der Beziehung sin 2 x + cos 2 x = 1 lässt sich zeigen, dass die beiden Lösungen identisch sind.

Beispiel 4:

∫ 3   x 1 + x 2   d x =
Durch die Umformung ∫ 3   x 1 + x 2   d x = 3 2 ∫ 2   x 1 + x 2   d x steht im Zähler der Integrandenfunktion die Ableitung des Nenners.

Deshalb bietet sich die Substitution z = 1 + x 2         a n ,       w o r a u s         d z = 2   x   d x         f o lg t .

Damit gilt:
∫ 3   x 1 + x 2   d x = 3 2   ∫ 1 z   d z = 3 2   ln   | z | + C = 3 2   ln   ( 1 + x 2 ) + C

Spezialfall der Substitutionsregel

Ist die Zählerfunktion des Integranden die Ableitung der Nennerfunktion, wie in Beispiel 4, lässt sich dies zu folgender Methode verallgemeinern.

  • Es gilt als Spezialfall der Substitutionsregel:
    ∫ f ' ( x ) f ( x )   d x = ln |   f ( x )   | + C ( d e n n         m i t       z = f ( x )       e r h ä l t         m a n       d z = f ' ( x )   d x       u n d         d a m i t         ∫ f ' ( x ) f ( x )   d x = ∫ d z z = ln   |   z   | + C = ln |   f ( x )   | + C     )
    Diese Regel wird manchmal auch als „logarithmisches Integrieren“ bezeichnet.

Bei der Berechnung bestimmter Integrale der Form
∫ a b v ( u ( x ) ) ⋅ u ' ( x )     d x
kann man in der Resultatsangabe anstelle der Stammfunktion V ( u ( x ) ) auch die Stammfunktion V ( z )         m i t         z = u ( x ) verwenden, d. h. man braucht nicht wieder „zu resubstituieren“, wenn gleichzeitig die Integrationsgrenzen a und b durch u(a) und u(b) ersetzt werden.

Beispiel 5:
∫ 0 π 2 e sin   x ⋅ cos   x     d x = ∫ sin   0 sin   π 2 e z   d z                                 S u b s t i t u t i o n : z = sin   x ,     a l s o                                                                                                                               d z = cos   x     d x                                                                           = ∫ 0 1 e z   d z = [ e z ]   0   1 = e − 1 ≈ 1,718

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Integration durch nichtlineare Substitution." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/integration-durch-nichtlineare-substitution (Abgerufen: 20. May 2025, 11:54 UTC)

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  • Substitutionsmethode
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  • Stammfunktion
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