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  5. 7.4.2 Integration durch nichtlineare Substitution
  6. Integration durch nichtlineare Substitution

Integration durch nichtlineare Substitution

Ist im Integranden eines Integrals eine verkettete Funktion und außerdem noch die Ableitungsfunktion der inneren Funktion als Faktor vorhanden, so kann die Integration durch nichtlineare Substitution erfolgen.

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  • Satz: Es sei f ( x ) = v ( u ( x ) ) ⋅ u ' ( x ) und V eine Stamfunktion von v. Dann ist F mit F ( x ) = V ( u ( x ) ) eine Stammfunktion von f:
    ∫ f ( x )   d x = ∫ v ( u ( x ) )     ⋅     u ' ( x )   d x = V ( u ( x ) ) + C = F ( x ) + C  

Beispiel 1:

∫ 2 x ⋅ e x 2 d x = ∫ e z   d z       S u b s t i t u t i o n :     z = x 2   = e z + C = e x 2 + C       d z d x = 2 x ,       a l s o       d x = d z 2 x

Beispiel 2:

∫ 1 4 4 x 2 x 2 − 1   d x = [ 2 3 ( 2 x 2 − 1 ) 3 ]   1   4       S u b s t i t u t i o n :     z = 2 x 2   = 2 3 ( 31 31 − 1 ) ≈ 114,4               d z d x = 4 x ,       a l s o       d x = d z 4 x

Beispiel 3:

∫ sin   x     ⋅ cos   x     d x =

1. Lösungsweg:
Da cos x die Ableitung von sin x ist, substituiert man z = sin x, woraus d z d x = cos   x         u n d         d x = d z cos   x folgt.
Damit gilt: ∫ sin   x     ⋅ cos   x     d x = ∫ z   d z       =     1 2   z 2 + C       =     1 2   sin 2   x     + C

2. Lösungsweg:
Man kann ebenso -sin x als Ableitung von cos x auffassen und setzt
z = cos x. Damit gilt: d z d x = − sin   x         u n d         d x = −   d z sin   x -.
Also: ∫ sin   x     ⋅ cos   x     d x = − ∫ z   d z = − 1 2   z 2 + C = − 1 2   cos 2   x     + C

Die Probe durch Differenzieren zeigt die Richtigkeit auch dieser zweiten Lösung.
Unter Verwendung der Beziehung sin 2 x + cos 2 x = 1 lässt sich zeigen, dass die beiden Lösungen identisch sind.

Beispiel 4:

∫ 3   x 1 + x 2   d x =
Durch die Umformung ∫ 3   x 1 + x 2   d x = 3 2 ∫ 2   x 1 + x 2   d x steht im Zähler der Integrandenfunktion die Ableitung des Nenners.

Deshalb bietet sich die Substitution z = 1 + x 2         a n ,       w o r a u s         d z = 2   x   d x         f o lg t .

Damit gilt:
∫ 3   x 1 + x 2   d x = 3 2   ∫ 1 z   d z = 3 2   ln   | z | + C = 3 2   ln   ( 1 + x 2 ) + C

Spezialfall der Substitutionsregel

Ist die Zählerfunktion des Integranden die Ableitung der Nennerfunktion, wie in Beispiel 4, lässt sich dies zu folgender Methode verallgemeinern.

  • Es gilt als Spezialfall der Substitutionsregel:
    ∫ f ' ( x ) f ( x )   d x = ln |   f ( x )   | + C ( d e n n         m i t       z = f ( x )       e r h ä l t         m a n       d z = f ' ( x )   d x       u n d         d a m i t         ∫ f ' ( x ) f ( x )   d x = ∫ d z z = ln   |   z   | + C = ln |   f ( x )   | + C     )
    Diese Regel wird manchmal auch als „logarithmisches Integrieren“ bezeichnet.

Bei der Berechnung bestimmter Integrale der Form
∫ a b v ( u ( x ) ) ⋅ u ' ( x )     d x
kann man in der Resultatsangabe anstelle der Stammfunktion V ( u ( x ) ) auch die Stammfunktion V ( z )         m i t         z = u ( x ) verwenden, d. h. man braucht nicht wieder „zu resubstituieren“, wenn gleichzeitig die Integrationsgrenzen a und b durch u(a) und u(b) ersetzt werden.

Beispiel 5:
∫ 0 π 2 e sin   x ⋅ cos   x     d x = ∫ sin   0 sin   π 2 e z   d z                                 S u b s t i t u t i o n : z = sin   x ,     a l s o                                                                                                                               d z = cos   x     d x                                                                           = ∫ 0 1 e z   d z = [ e z ]   0   1 = e − 1 ≈ 1,718

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Integration durch nichtlineare Substitution." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/integration-durch-nichtlineare-substitution (Abgerufen: 09. June 2025, 18:02 UTC)

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  • Substitutionsmethode
  • logarithmisches Integrieren
  • verkettete Funktion
  • Stammfunktion
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Partielle Integration

Im Unterschied zur Integration einer Summe von Funktionen, für die es eine einfache Integrationsregel (Summenregel) gibt, gestaltet sich das Integrieren eines Produktes von Funktionen weitaus schwieriger.
In einigen Fälle führt die Integration durch Substitution zum Ziel, doch in vielen Fällen kann man keine geeignete Substitution angeben.
Eine einfache Umkehrung der Differenziationregel für Produkte von Funktionen ist nicht möglich, jedoch bietet diese Regel den Zugang zu einem speziellen Integrationsverfahren, das auf der Produktregel der Differenzialrechnung fußt.
Es gilt die folgende Regel der partiellen Integration.

Numerische Integration

Sind Funktionen nicht elementar integrierbar oder ist das Ermitteln von Stammfunktionen zu aufwendig, werden numerische Integrationsverfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale eingesetzt.
Derartige Methoden bilden auch den Hintergrund für die Integration durch elektronische Rechner (sofern die Integration hierbei nicht über ein Computeralgebrasystem realisiert wird).
Um den Flächeninhalt unter dem Graphen – und damit das bestimmte Integral – einer Funktion f in einem Intervall [a; b] näherungsweise zu bestimmen, wird die Fläche durch Parallelen zur y-Achse in gleichbreite Streifen mit leicht berechenbarem Inhalt zerlegt. Die Summe der Flächeninhalte ergibt dann einen Näherungswert für das bestimmte Integral im Intervall [a; b]. Eine derartige angenäherte zahlenmäßige Berechnung eines bestimmten Integrals heißt numerische Integration.

Bernhard Riemann

* 17. September 1826 Breselenz
† 20. Juli 1866 Selasco (Italien)

BERNHARD RIEMANN lehrte als Nachfolger von GAUSS und DIRICHLET in Göttingen.
Er arbeitete speziell auf den Gebieten der Funktionentheorie, der Zahlentheorie sowie der mathematischen Physik. Die riemannsche Geometrie ist Grundlage der Differenzialgeometrie sowie der allgemeinen Relativitätstheorie.

Schwerpunkt einer Fläche

Für das Lösen vieler physikalischer und technischer Probleme ist es wichtig, die Koordinaten des Schwerpunktes einer Fläche zu kennen.

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