Ringe

Definition: Eine nichtleere Menge R von Elementen a, b, c, ... heißt Ring, wenn in ihr zwei Verknüpfungen (geschrieben als Addition und Multiplikation) erklärt sind, die den folgenden Axiomen genügen:

• (Axiom 1) Die Menge R bildet bezüglich der Addition einen Modul.
• (Axiom 2) Die Menge R bildet bezüglich der Multiplikation eine Halbgruppe.
• (Axiom 3) Beide Operationen sind distributiv verbunden, d.h., für alle Elemente $a,b,c\in R$ gilt: $a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c$ und $\left(b+c\right)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$

In einem Ring ist die Multiplikation assoziativ, die Addition assoziativ und kommutativ, und es existiert ein Nullelement 0 mit der folgenden Eigenschaft:
$a+0=a$ und $a\cdot 0=0\cdot a=0($ für alle $a\in R)$

$$Außerdem existiert zu jedem a aus R ein entgegengesetztes Element $-a$ mit $a+\left(-a\right)=0.$

$$Gilt auch bezüglich der Multiplikation das Kommutativgesetz, so spricht man von einem kommutativen Ring.

Existiert in R ein Einselement e mit $e\cdot a=a\cdot e=a$ für alle a aus R, so heißt R Ring mit Einselement.

Im Folgenden betrachten wir Beispiele für Ringe, zunächst für Ringe aus den Zahlenbereichen (Beispiele 1.1 bis 1.3).

Beispiel 1.1

Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ bilden keinen Ring, da in $\mathbb{N}$ Axiom 1 nicht erfüllt ist.
Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$, ebenso die Teilmengen $n\mathbb{Z}$ von $\mathbb{Z}$ aller durch n teilbaren Zahlen, bilden Ringe. Für $n=0$ erhält man $R_0=\left\{0\right\},$ für $n=1$ ist $R_1=\mathbb{Z},$ für $n=2$ ergibt sich $R_2=2\mathbb{Z},$ also alle durch 2 teilbaren ganzen Zahlen, usw.

Definition: Nichtleere Teilmengen eines Ringes R, die selbst einen Ring bilden, nennt man Unterringe von R. Die Ringe $n\mathbb{Z}$ sind Unterringe von $\mathbb{Z}.$

Beispiel 1.2

Die rationalen Zahlen $\mathbb{Q},$ die reellen Zahlen $ℝ$ und die komplexen Zahlen $ℂ$ bilden Ringe mit $\mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ.$ Damit sind $ℝ$ und $\mathbb{Q}$ Unterringe von $ℂ.$

Beispiel 1.3

Betrachtet man den Teilbereich aller Zahlen der Form $a+b\sqrt{k}$ mit $a,b,k\in \mathbb{Z}(k$ fest $)$ bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation, so erhält man für jedes k einen Unterring $R_k$ von $ℂ.$ Für diese Unterringe gilt:

• Ist k eine Quadratzahl aus $\mathbb{N}$, so ist $R_k=\mathbb{Z};$ ist k keine Quadratzahl $\left(z.B.k=2\right),$ erhält man mit $R_2=\left\{a+b\sqrt{2};a,b\in \mathbb{Z}\right\}$ einen Unterring der reellen Zahlen $ℝ.$
• Ist k eine negative ganze Zahl, so gilt $R_k\subset ℂ.$
  Für $k=-1$ ergibt sich der Ring der ganzen gaußschen Zahlen:
  $R_{-1}=\left\{a+bi;a,b\in \mathbb{Z}\right\}$

Alle Ringe aus den Zahlenbereichen sind kommutativ. Die Ringe $\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ$ und $ℂ$ besitzen ein Einselement, die Zahl 1. Dagegen besitzen die Ringe $n\mathbb{Z}$ für $n>1$ kein Einselement.

Der Polynomring $ℝ\left[x\right]$ (Beispiel 2)

Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus $ℝ,$ in Zeichen:
$ℝ\left[x\right]=\left\{f\left(x\right)=a_n{x}^n+\mathrm{...}+a_{1}x+a_0;a_i\in ℝ,n\in \mathbb{N}\right\},$
bildet bekanntlich einen Vektorraum, d.h., insbesondere ist $ℝ\left[x\right]$ ein Modul bezüglich der Polynomaddition.
Da auch das Produkt zweier Polynome wieder ein Polynom aus $ℝ\left[x\right]$ ist und sich die Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation von $ℝ$ auf $ℝ\left[x\right]$ übertragen, ist $ℝ\left[x\right]$ bezüglich der Polynommultiplikation eine abelsche Halbgruppe. Auch das Distributivgesetz ist erfüllt, so dass man berechtigt vom Polynomring spricht.

Der Ring M der quadratischen Matrizen (Beispiel 3)

Die Menge aller quadratischen Matrizen vom Typ $\left(n,n\right)$ mit Elementen aus $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ oder $ℝ$ bilden bezüglich der Matrizenaddition und -multiplikation einen Ring, den so genannten (vollen) Matrizenring M. Dieser Ring ist nicht kommutativ.
Betrachtet man speziell die Matrizen vom Typ $\left(\mathrm{2,}2\right)$ mit

$M=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right);a,b,c,\in ℝ\right\},$

dann gilt z.B.

$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& b\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}c& d\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ ac& ad\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ a& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}da& db\\ 0& 0\end{array}\right),$

d.h., es gibt zwei Matrizen, die nicht miteinander vertauschbar sind. Der Matrizenring besitzt ein Einselement, die Einheitsmatrix E, ist aber nicht kommutativ.

Der Ring der quadratischen Matrizen unterscheidet sich auch noch hinsichtlich einer anderen Eigenschaft (auf die im Folgenden eingegangen werden soll) von den Ringen aus den Zahlenbereichen.

Definition: Gibt es in einem Ring R zu a ein von null verschiedenes Element b mit der Eigenschaft $a\cdot b=\mathrm{0,}$ so heißt a linker Nullteiler, und gilt $b\cdot a=\mathrm{0,}$ so heißt a rechter Nullteiler von R.
Hat ein Ring R nur das Nullelement als Nullteiler, heißt R nullteilerfrei.

Anmerkung: In kommutativen Ringen unterscheidet man natürlich nicht zwischen rechten und linken Nullteilern und spricht deshalb nur von Nullteilern.

In einem nullteilerfreien Ring R gilt für beliebige von null verschiedene Elemente a, b stets: $a\cdot b=0\Rightarrow a=0$ oder $b=0$

$$Betrachtet man noch einmal den Ring der quadratischen Matrizen (Beispiel 3),
so gilt für $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& b\end{array}\right)$ $($ mit $a\ne 0$ und $b\ne 0),$

dass das Produkt gleich der Nullmatrix ist, d.h.:
$\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& b\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

Die Matrix $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ ist ebenso wie $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& b\end{array}\right)$ sowohl rechter als auch linker Nullteiler von M.

Es sei hier nur darauf hingewiesen, dass eine quadratische Matrix mit Elementen aus $\mathbb{Q}$ oder $ℝ$ entweder ein rechter oder linker Nullteiler ist oder eine reguläre Matrix und damit umkehrbar. Im Matrizenring mit Elementen aus $\mathbb{Z}$ gilt das nicht. Die Matrix $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ ist z.B. kein Nullteiler, sondern regulär, da ihre Determinante 2 ist.

Die Gleichung
$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
ist nicht lösbar (nur für $d=\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$).

Es gilt allgemein in Ringen, dass ein linker (bzw. rechter) Nullteiler von R kein Linksinverses (bzw. Rechtsinverses) besitzt.

Definition: Ein kommutativer nullteilerfreier Ring mit Einselement heißt ein Integritätsbereich.

Die Ringe $\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ$ und $ℂ$ sind Integritätsbereiche. Ebenso bildet die Menge aller Polynome $f\left(x\right)$ mit reellen Koeffizienten bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation einen Integritätsbereich.

Restklassenringe

In den bisherigen Beispielen handelt es sich jeweils um einen Ring mit unendlich vielen Elementen. Die Begriffe endlich bzw. unendlich übertragen sich aus der Mengenlehre auf beliebige algebraische Strukturen. Im Folgenden werden Beispiele für endliche Ringe angegeben:

Die m Restklassen $\left[a\right]\mathrm{mod}m$ bilden bezüglich der repräsentantenweisen Addition und Multiplikation einen Ring mit m Elementen, den Restklassenring $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}.$ Dieser ist kommutativ und besitzt ein Einselement, und zwar $e=\left[1\right].$

• Ist m keine Primzahl und lässt sich in der Form $m=m_1\cdot m_2$ mit $1<m_1<m$ und $1<m_2<m$ darstellen, so hat der Restklassenring Nullteiler, denn es gilt:
  $\left[m_1\right]\cdot \left[m_2\right]=\left[m_1\cdot m_2\right]=\left[m\right]=\left[0\right]$
  So ist z.B. für $m=6\text{:}$
  $\left[2\right]\cdot \left[3\right]=\left[6\right]=\left[0\right]$ oder $\left[3\right]\cdot \left[4\right]=\left[12\right]=\left[0\right]$
  Die Restklassen sind Nullteiler im Restklassenring $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}.$
• Ist $m=p$ eine Primzahl, so besitzt der Restklassenring keine Nullteiler und ist damit ein Integritätsbereich.